Область с произвольным сечением

делается с помощью элементной базы детского конструктора. Чем обширнее будет каталог, тем большее разнообразие конструкций может быть реализовано с его помощью.

Краевые задачи теории поля независимо от их физической природы традиционно подразделяют по признаку размерности изучаемого объекта на одно-, двух- и трехмерные. В задачах теплопроводности при наличии сложного (трехкомпонентного) теплообмена на внешних и внутренних поверхностях объекта такое подразделение с физической точки зрениянеприемлемо, так как поверхность (внешняя и внутренняя) самого объекта в этих случаях в теплообмене не участвует – последний осуществляется лишь на внешних границах двумерного объекта, получаемых путем искусственно вводимой его единичной толщины, или на поверхности приписываемого одномерному объекту сечения произвольной формы, как это показано на рис. 3.1. В силу сказанного базовый каталог элементов должен содержать только трехмерные элементы.

В целях упрощения математического описания элементов и сохранения наглядности при декомпозиции объекта на элементы, в качестве таковых следует брать ячейки, образованные координатными поверхностями системы с соответствующим объекту порядком симметрии . Узлами элемента будут точки пересечения координатных линий. Для расширения элементной базы можно использовать и элементы, которые лишь частично образованы координатными поверхностями (трансляцией вдоль одного из ортов системы), либо трансляцией точек в направлениях , не совпадающих с ортами .

Базовый каталог конечных элементов с иллюстрацией их геометрической формы, являющийся рабочим инструментом при декомпозиции области, представлен в Приложении 1. В левом столбце каталога указаны:

• номер элемента , присвоенный ему в каталоге, с указанием орта

трансляции;

• порядок симметрии ;

• количество r узлов элемента.

В инженерной практике часто встречаются конструкции, собранные из осесимметричных элементов − цилиндров, конусов и т.д., порядок симметрии которых . Соответственно геометрии объекта задачи теплопроводности с − так называемые осесимметричные задачи, − в общем случае следует разделить на два типа задач:

• полностью симметричные − граничные условия не зависят от угловой

координаты θ;

• ограниченно симметричные.

Ограниченно симметричные задачи с являются особыми инженерными задачами теплопроводности в силу следующих причин:

• объект представляет собой какую-то часть (по углу или углам)

осесимметричной фигуры;

• распределение тепловых − объемных и (или) поверхностных − нагрузок носит локальный характер (граничные условия не являются осесимметричными в силу особенностей самой конструкции и (или) условий ее функционирования, что присуще, например, всем космическим объектам [32]);

• объект − многосвязная область (например, перфорированные цилиндр, конус, шар и т.д.).

Указанные признаки ограниченной симметрии могут присутствовать в задаче порознь, в любой комбинации или все одновременно. В базовом каталоге конечных элементов даны ограниченные по углу (углам) трехмерные элементы , образованные координатными поверхностями системы. Они легко получаются поворотом на угол ∆θ соответствующих плоских фигур (на рисунке заштрихованы). Элементы с номерами 2, 6, 7 лишь частично образованы координатными линиями: путем трансляции треугольника в направлении или поворотом его на угол вокруг оси . И только третий элемент − тетраэдр – никак не связан с координатной сеткой: он получен трансляцией точек (узлов).

Осесимметричные элементы легко получить поворотом на угол заштрихованных элементообразующих поверхностей (граней).

Включенные в базовый каталог элементы позволяют собрать конструкцию сложной геометрической формы, чем и обусловлено одно из важных преимуществ МКЭ перед другими численными методами.