Приклад 5. Моделювання поширення епідемії

Нехай у мікрорайоні, населення якого становить 30000 чоловік, виникла епідемія, і з'явилося 50 інфікованих хворих. Припустимо, що приріст хворих за день пропорційний добутку числа здорових людей на число хворих. Коефіцієнт пропорційності Ki (коефіцієнт поширення інфекції) включає різного роду профілактичні заходи, прийняті під час епідемії. Потрібно визначити максимальне число хворих та особливості розвитку епідемії.

Відомо, що процес розвитку епідемії може бути описаний системою двох диференціальних рівнянь:

X_' = X_ ´ (Ki ´ Y_ – 1);

Y_' = – Ki_ ´ Х_ ´ Y_,

де: Х _, Y _ – змінні, які описують кількість хворих і здорових людей.

Для моделювання процесу поширення епідемії виділяємо дві частини процесу: неперервний і дискретний.

Результати моделювання представимо у графічному вигляді. На осі абсцис відкладається час моделювання системи, а на осі ординат – число здо­рових і хворих людей у кожний момент часу моделювання системи. Одини­цею виміру часу може бути доба. На рис. 8.8 представлена імітаційна модель процесу поширення епідемії. Параметр Ki є коефіцієнтом поширення інфекції, що залежить від багатьох факторів. Він прийнятий рівним 0,0002. Часовий інтервал процесу моделювання приймаємо рівним 30 добам. Оскільки в процесі інтегрування шукані параметри можуть вийти за допустимі межі, то у PLUS-процесах вводяться відповідні обмеження за допомогою умовного оператора.

Рис. 8.8. Вікно імітаційної моделі поширення епідемії

Для представлення результатів моделювання у графічному вигляді вико­нуємо команди: Window ► Simulation Window ► Plot Window. Відкриється діалогове вікно Edit Plot Window, у яке вводитьсяінформація, як показано на рис. 8.9.

Як і у попередньому прикладі, розташуємо два графіки в одному графічному вікні. Заповнення діалогового вікна Edit Plot Window виконуємо у два етапи. На першому етапі вводиться наступна інформація в текстові поля, переміщаючись між ними за допомогою клавіші Tab:

· у поле Label – “Число хворих людей”;

· у поле Expression – назва шуканої змінної Х _;

· у поле Title – “Динаміка епідемії”;

· у поле Time Range – значення 30 (це число діб моделювання);

· у полі Min Value – залишимо наведене значення без змін;

· у поле Max Value – значення 50000 (початкова кількість здорових людей).

Рис. 8.9. Діалогове вікно Edit Plot Window для моделі поширення епідемії

Активізуємо кнопки Plot і Memorize. Інформація, введена у перших двох текстових полях, з'явиться у двох багаторядкових списках, розташо­ваних нижче. Отже, задана вся необхідна інформація для виведення у графічному вигляді результатів моделювання змінної Х _.

Для задавання необхідної інформації для виведення в графічному виді результатів моделювання шуканої змінної Y _ вводиться наступна інформація в текстових полях:

· у поле Label “Число хворих людей” замінюємо на “Число здорових людей”;

· у поле Expression замість назви шуканої змінної Х _ вводиться назва шуканої змінної Y _.

Далі активізуємо кнопки Plot і Memorize. Дані, зазначені в перших двох текстових полях, додадуться до раніше уведеної інформації у двох багаторядкових списках, розташованих нижче. Натискаємо кнопку ОК. Відкриється вікно PLOTS із шаблоном графіка (рис. 8.10).

Рис. 8.10. Вікно PLOTS для моделі поширення епідемії

Тепер запускаємо систему на моделювання. Розв’язання системи дифе­ренціальних рівнянь, наведеної в моделі, отримується методом Рунге-Кутта п'ятого порядку. Результати моделювання показані у вікні PLOTS ( рис. 8.11).

Рис. 8.11. Вікно PLOTS з результатами моделювання поширення епідемії

Аналіз отриманих результатівсвідчить про те, що для заданих початкових значень – кількості здорових людей 30000 і хворих 50 кількість хворих досягне максимуму через 2 доби і складе близько 17000 чоловік.

Моделювання процесу поширення епідемії для інших початкових значень моделі здійснюється виконанням аналогічних команд, описаних у попередньому прикладі. Нехай початкове значення коефіцієнт та поширення епідемії становить 0,0004, тобто

K_і_ EQU 0,0004

Закриваємо вікно PLOTS і виконуємо команди: Command ► Retranslate ► Window ► Simulation Window ► Plot Window. У розділі Memorized Expression вибираємо рядки: