Строительными элементами площадных геометрических фракталов служат плоские полигоны, чаще всего трех- и четырехугольники.
Самым знаменитым фракталом этого класса является треугольник Серпинского, строящийся путем разбиения треугольника – не обязательно равностороннего – средними линиями на четыре подобных треугольника, исключения центрального и рекурсивного разбиения угловых треугольников до получения площадных элементов желаемого или минимально видимого разрешения.
Алгоритм построения треугольника Серпинского (рис. 23).
1. Внутри исходного треугольника выбирается центральная точка:
2. Задается число m итераций генерирования случайных точек.
3. В цикле для k от 1 до m:
– случайным образом выбирается номер n одной из вершин треугольника pn (генерируется случайное число в интервале от 1 до 3).
– вычисляется очередная точка qk в середине отрезка qk- 1 p n:
Благодаря выбору точки q 0 внутри треугольника p 1 p 2 p 3 центр отрезка q 0 pn (точка q 1) никогда не окажется внутри центрального треугольника, отмеченного на рисунке пунктиром. При достаточно большом числе итераций m генерируемые точки qk образуют случайный узор, предельная форма которого стремится к треугольнику Серпинского.
Следует отметить, что небольшое число начальных точек qk все-таки может попасть в запретные области. В частности, это случится при выборе точки q 0 в центре треугольника p 1 p 2 p 3.
Аналогично треугольнику Серпинского может быть построена треугольная пирамида Серпинского.