2015-09-07
1062
Эту группу составляют фракталы, которые генерируются согласно методу "систем итеративных функций" – IFS (Iterated Functions Systems).
Данный метод может быть описан как последовательный итеративный расчет координат новых точек в пространстве:
где Fx и Fy – функции преобразования координат, например аффинного преобразования. Эти функции и определяют форму фрактала. В случае аффинного преобразования необходимо найти соответствующие числовые значения коэффициентов. Примером 
такого фрактала является построение изображения листа папоротника (рис. 24).
Для начала итераций необходимо задать стартовые координаты линии – точки 1 и 2. На каждом шаге итераций рассчитываются координаты других точек.
Точка 3 получается поворотом точки 2 на угол a относительно центра в точке 1:
x3=(x2-x1) cosa -(y2-y1) sina +x1,
y3=(x2-x1) sina +(y2-y1) cosa +y1.
Если a=0, то ствол и все ветви прямые.
Находим точку 4. От нее будут распространяться ветви. Пусть соотношение длин отрезков 1-4 и 1-3 равно k (0< k <1). Тогда координаты точки 4: x4=x1(1-k)+kx3, y4=y1(1-k)+ky3.
|
|
|
Задаем длину и угол наклона ветвей, которые выходят из точки 4.
Найдем координаты точки 5: параметр k 1– соотношение длин отрезков 4-5 и 4-3 (0< k 1<1):
x5=x4(1-k1)+k1x3,
y5=y4(1-k1)+k1y3.
Точка 6 получается поворотом точки 5 относительно точки 4 на угол b, а точка 7 – на угол (-b):
x6=(x5-x4) cosb -(y5-y4) sinb +x4;
y6=(x5-x4) sinb +(y5-y4) cosb +y4;
x7=(x5-x4) cosb +(y5-y4) sinb +x4;
y7=-(x5-x4) sinb +(y5-y4) cosb +y4.
После расчета опорных точек на каждом шаге рисуется отрезок 1-4. В зависимости от номера итерации цвет отрезка можно изменять.
Таким образом, фрактал задается как последовательность аффинных преобразований координат точек. Величины a, b, k, k 1 – это параметры, которые описывают вид фрактала в целом. Они представляют собой константы на протяжении всего итеративного процесса. Это дает возможность в итерациях использовать только операции сложения, вычитания и умножения, если вычислить заранее значения:
A= cosa; B= sina; C=(1-k); D=k;
E=1-k1; F=k1; G= cosb; H= sinb.
Опишем рекурсивный алгоритм в виде процедуры ШАГ.
ШАГ(x1, y1, x2, y2, num)
Если (x1-x2)2+(y1-y2)2>lmin, то
Вычисляем координаты точек 3-7:
x3=(x2-x1)A - (y2-y1)B + x1
y3=(x2-x1)B + (y2-y1)A + y1
x4=x1C + x3D
y4=y1C + y3D
x5=x4E + x3F
y5=y4E + y3F
x6=(x5-x4)G - (y5-y4)H + x4
y6=(x5-x4)H + (y5-y4)G + y4
x7=(x5-x4)G + (y5-y4)H + x4
y7=-(x5-x4)H + (y5-y4)G + y4
Рисуем отрезок (x1, y1 - x4, y4)
ШАГ(x4, y4, x3, y3, num)
ШАГ(x4, y4, x6, y6, num+1)
ШАГ(x4, y4, x7, y7, num+1)
Для того чтобы нарисовать фрактал, необходимо вызвать процедуру ШАГ, установив соответствующие значения ее аргументов: ШАГ(x1,y1,x2,y2,0). Параметр num показывает степень детализации расчета дерева. Это значение можно использовать для прекращения итеративного процесса.
Завершение циклов итерации в нашем алгоритме происходит тогда, когда длина ветви становится меньше некоторой величины lmin.
|
|
|
