В соответствии с моделью, у капитала есть две особенности:
1) Капитал зависит от инвестиций; (положительная зависимость)
2) Капитал убывает в зависимости от износа (порчи) – отрицательная зависимость;
- Солоу решил, что капитал берётся из инвестиций (I), а инвестиции берутся из сбережений, которые составляют часть ВВП, который сохраняет население (собственно, логично, ведь люди всегда стараются сберегать часть своих доходов). Поскольку в долгосрочном состоянии рынок товаров и услуг близок к равновесному состоянию, все производимые продукты реализуются на рынке и конвертируются в совокупный доход (и государства, и частного сектора), то есть Y=Доход. Соответственно, S= σ*Y. Считается, что все сбережения направляются в инвестиции. То есть S=I, значит I= σ*Y (соответственно, то что люди решили не сберегать – отправляется на потребление:
С= (1- σ)*Y)
- Но капитал (основные фонды) имеют свойство портиться. Соответственно, нужно это математически как-то заложить. Солоу решил, что эта зависимость линейная и представил износ, как постоянную долю от имеющегося капитала: δ K, где «δ» - процент износа оборудования за единицу времени.
|
|
Таким образом, изменение капитала зависит от прироста инвестиций и износа оборудования:
ΔK = I – δK и, подставляя выражение выше получаем ΔK = σ *Y – δ*K
А теперь, поскольку нас интересует именно ВВП на душу населения преобразуем исходное уравнение совокупного ВВП в термины подушевого. Разделим всё уравнение на население:
Y=A*Kα*L1-α => Y/L=A*(Kα*L1-α)/L= A*(Kα/Lα)= A*(K/L)α
Y/L = A*(K/L)α, Y/L – ВВП на душу населения, K/L – капитал на душу населения (более грамотно по-русски, капиталовооружённость)
Теперь, чтобы не возиться вечно с этими дробями, давайте сделаем тоже самое на языке математики, пусть y = Y/L, а k = K/L
Вуаля!
y = A*k α,
Формуле прибавилось изящества, не правда ли?
Из этого выражения видно гораздо лучше, что рост ВВП на душу не зависит от населения страны, а только от капиталовооружённости:
y = f(k) – это функция предложения страны (AS)
Продолжим переобозначения дальше:
i= σ*y (инвестиции на душу населения);
с=(1- σ)*y (подушевое потребление) – функция спроса в стране (AD)
Условия равенства спроса и предложения могут быть представлены как
ƒ(k)= с+i или ƒ(k)= i/σ.
Тангенс утла наклона данной производственной функции соответствует предельному продукту капитала (МРК = ), который убывает по мере роста фондовооруженности (k) – т.е. производная первого порядка меньше 0.
Рис. 1
с – потребление на душу.
i – инвестиции на душу.
f(k) – Подушевой доход. То что индивид не сберегает (i= σ y) он потребляет (c)