Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые называются структурными средними. К таким показателям относятся мода и медиана.
Мода – величина признака (варианта), наиболее часто повторяющаяся в изучаемой совокупности. Другими словами, модой называется то значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределения. Мода отражает типичный, наиболее распространенный вариант значения признака.
В дискретном ряду распределения мода – это варианта, которой соответствует наибольшая частота.
В интервальном ряду распределения сначала определяют модальный интервал (т.е. интервал, содержащий моду), которому соответствует наибольшая частота. Конкретное значение моды определяется формулой:
xMo – начальное значение модального интервала
iMo – величина модального интервала
fMo – частота модального интервала
fMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному
fMo+1 – частота интервала, следующего за модальным
|
|
При этом мода будет несколько неопределенной, т.к. ее значение будет зависеть от величины групп, точного положения границ групп.
Медиана – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения, не большие, чем средний вариант, а другая – не меньшие. Справедливо соотношение: сумма абсолютных отклонений членов ряда от медианы есть величина наименьшая
∑ | х-Ме | < ∑ | х-A |, где А = Ме (т.е. А – любое число, отличное от Ме)
Для ранжированного (выстроенного в порядке возрастания или убывания значения признака) ряда с нечетным числом членов медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Для ранжированного ряда с четным числом членов медиана рассчитывается как средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в центре ряда.
Для дискретного ряда медиана рассчитывается с помощью накопленных частот: медианой является варианта, которой соответствует накопленная частота, впервые превысившая половину общей суммы частот.
Для интервального ряда с помощью накопленных частот определяют медианный интервал (т.е. интервал, содержащий медиану), которому соответствует накопленная частота, впервые превысившая половину общей суммы частот. Затем конкретное значение медианы рассчитывают по формуле
,
где
хМе - начальное значение медианного интервала
iMe - величина медианного интервала
SMe-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу
fMe – частота медианного интервала
Моду и медиану можно также определить графически.
Мода определяется по полигону (рис.1) или гистограмме (рис.2) распределения. В первом случае мода соответствует наибольшей ординате. Во втором – правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину – с левым углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения – этих прямых будет модой распределения.
|
|
Медиана определяется по кумуляте (рис.3). Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности совокупности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианой.