Параметры сетевой модели

Исходная информация для модели включает сеть, продолжительности t_ij всех работ (i, j), момент начала выполнения комплекса Т ₀, а также может содержать (но не обязательно) директивный срок Т_дир наступления завершающего события. Продолжительности работ задаются как детерминированные неотрицательные величины.

Одна из основных задач управления состоит в составлении плана выполнения комплекса работ. Параметрами плана, определяемыми с помощью сетевой модели, являются лишь временные характеристики: моменты начала и окончания каждой работы и всего комплекса работ. Их называют параметрами сетевой модели.

Важнейшим параметром является критическое время T_кр – минимальное время, за которое может быть выполнен весь комплекс. Критическому времени соответствует критический путь L_кр, то есть полный путь, продолжительность которого и составляет критическое время: t (L_кр)= Т_кр. Очевидно, что продолжительность любого другого полного пути равна или меньше критического времени Т_кр, поэтому критический путь можно определить, как путь, имеющий максимальную продолжительность.

Работы, лежащие на критическом пути, называются критическими работами. Именно они определяют время выполнения комплекса в целом, поэтому ход их выполнения имеет особую важность при управлении выполнением всего комплекса.

В плане выполнения всего комплекса должны быть определены моменты наступления всех событий, начала и окончания работ. Как правило, эти моменты устанавливаются не однозначно, а располагаются в некотором диапазоне. При анализе сетевой модели определяются параметры, ограничивающие эти диапазоны. Такими параметрами для каждого k- го события являются ранний срок наступления события T_k⁽^p⁾ и поздний срок наступления события T_k⁽ⁿ⁾. Используя эти параметры, можно вычислить и другие параметры, в том числе критическое время T_кр и критический путь L_кр, на основании которых составляется план выполнения комплекса. Поэтому начнем с рассмотрения параметров T_k⁽^p⁾ и T_k⁽ⁿ⁾.

На рис. 2 изображена сетевая модель, используемая далее при изложении методики расчета параметров сетевых моделей.

Ранний срок наступления события T_k⁽^p⁾– это самый ранний из возможных моментов наступления данного k -го события, и определяется он временем, необходимым для выполнения всех предшествующих ему работ.

Очевидно, что событие может наступить только тогда, когда будут выполнены все работы максимального по продолжительности пути. Поэтому значение T_k⁽^p⁾ и определяется как продолжительность максимального из путей, ведущих от основного события к k- му:

(5)

где нулем обозначен номер исходного события.

Например, к событию 7 (рис. 1.2) ведут три пути: 0–1–3–6–7, продолжительность которого равна 105 единицам времени; 0–1–2–5–7 с продолжительностью 60 ед. и 0–2–5–7 с продолжительностью 85 ед.

Очевидно, что событие 7 может наступить не раньше чем через 105 ед. времени после исходного события, поэтому T₇⁽^p⁾= 105 ед.

Из сформулированных понятий раннего и позднего сроков наступления событий следует, что для завершающего события

(6)

Рис. 2 Сетевая модель

Напишем формулу для вычисления T_k⁽ⁿ⁾. Обозначим через V_i^̅ множество дуг (i,j), выходящих из i -й вершины, и допустим, что все значения T_j⁽ⁿ⁾ для j -х событий, которыми заканчивается каждая из дуг, уже вычислены.

Тогда на основании формул (5) и (6) можно написать:

(7)

где

Вычисляя с помощью формулы (7) значения T_i⁽ⁿ⁾ (вычисления ведутся последовательно от завершающего события к исходному), получим для нашей сетевой модели (рис. 2)

Зная ранние и поздние сроки наступления событий, можно вычислить для каждой работы (i,j):

– ранний срок начала t_ij⁽^P^.^H^.);

– ранний срок окончания t_ij⁽^p^.^o^.);

– поздний срок начала t_ij⁽ⁿ^.^H^.);

– поздний срок окончания t_ij⁽ⁿ^.^o^.).

Первые два параметра – это самые ранние из возможных моментов начала и окончания данной работы. Очевидно, что ранний срок начала работы совпадает с ранним сроком наступления ее начального события, а ранний срок окончания превышает его на величину продолжительности работы (i, j):

(8)

(9)

Вторые два параметра обозначают самые поздние из допустимых моментов начала и окончания данной работы, при которых еще возможно выполнение всех следующих работ без превышения критического времени. Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком наступления ее конечного события, а поздний срок начала - меньше на величину t_ij:

(10)

(11)

Важными параметрами сетевой модели являются резервы времени событий и работ. Резервы времени существуют в сетевой модели во всех случаях, когда имеется более одного пути разной продолжительности.

Резерв времени события R - это такой промежуток времени, в пределах которого может меняться момент наступления события без превышения критического времени.

Величина R_k определяется как разность:

(12)

где k – номер события

Исходное, завершающее событие, а также все события, лежащие на критическом пути, резервами времени не располагают. Отсюда простой способ нахождения критического пути: определить события, не имеющие резерва времени, через них и пройдет критический путь.

Для работ можно рассматривать различные виды резервов, из которых наиболее важными являются:

- полный резерв

(13)

представляющий максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы (i,j), не изменяя срок наступления завершающего события;

- свободный резерв

(14)

представляющий собой максимальное время, на которое можно отсрочить начало или увеличить продолжительность работы, не изменяя при этом ранние сроки наступления всех следующих событий.

Полный резерв времени работы принадлежит всему пути, на котором эта работа лежит. Если этот резерв использовать полностью для увеличения длительности данной работы или какой-либо другой работы данного пути, то остальные работы пути останутся без резервов.

Работы, у которых полный резерв отличается от полного резерва критических работ (то есть от r_ij⁽ⁿ⁾=0) не более чем на заданную величину d, называются подкритическими. При небольших отклонениях в сроках выполнения подкритические работы становятся критическими, поэтому при управлении комплексом нужно наряду с критическими уделять особое внимание и подкритическим работам.

Множество всех критических и подкритических работ называют критической зоной комплекса.

Вопросы для самопроверки по 1 разделу

1. Дайте определение сетевой модели.

2. Что называется сетевым графиком?

3. Что означает понятие «действительная работа»?

4. Чему равна продолжительность фиктивной работы?

5. Какое событие называется завершающим?

6. Что называется путем в сетевой модели?

7. Что понимается под полным путем?

8. Какой ранг присваивается исходному событию в методе разделения событий на ранги?

9. В чем суть метода последовательного вычеркивания дуг?

10. Какие модели являются оптимизационными?

11. С помощью каких моделей можно найти минимальное время, в течение которого может быть выполнен весь комплекс, и определить календарные сроки начала и окончания каждой работы комплекса, обеспечивающие выполнение всего комплекса в найденное минимальное время?

12. Какие оценки продолжительности выполнения отдельных работ вы знаете?

13 Какая сетевая модель называется детерминированной?

14. Какая сетевая модель называется вероятностной?

15. В каких случаях используют для оценки продолжительности работы бета-распределение?

16. Какие вероятностные оценки используют в системах сетевого планирования и управления?

17. Что представляют собой первичные сетевые модели?

18. Что представляют собой частные сетевые модели?

19. Что представляют собой комплексные сетевые модели?

20. Какие правила должны соблюдаться при укрупнении людьми?

21. Какие параметры сетевой модели с учетом временных характеристик вы знаете?

22. Какие работы называются критическими?

23 Дайте определение резерву времени события и работ.