Лабораторное занятие №10

Определенный интеграл. (4 часа)

Цель: изучить основные понятия, ознакомиться с приложениями определенного интеграла.

На лабораторном занятии формируются

знания:

- об определенном интеграле,

- о площади криволинейной трапеции,

- о формуле Ньютона — Лейбница,

умения:

- определения определенного интеграла различными методами,

навыки:

- вычисления приложений определенного интеграла,

- применение определенного интеграла в решении задачи практического характера.

Материально-техническое оборудование:

мультимедийный проектор, ноутбук, презентация «Определенный интеграл», компьютерный класс.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ.

2.Проверка знаний студентов — их теоретической готовности к выполнению заданий.

3. Общее описание задания.

4. Выполнение заданий.

5. Оформление отчета о лабораторной работе.

6. Анализ

Глоссарий

Выучите определения следующих терминов:

определенный интеграл, криволинейная трапеция, геометрический смысл определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница, основные свойства определенного интеграла, вычисление определенных интегралов с помощью таблицы основных интегралов, замены переменной, интегрирование по частям.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ в компьютерном классе.

2. На лабораторном занятии используется фронтальная и индивидуальная формы работы.

Контрольные вопросы

1. Что называется определенным интегралом? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

2. Изложите геометрический и физический смысл определенного интеграла? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

3. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

4. Запишите формулу Ньютона-Лейбница. В каких случаях она применяется? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

5. Как выполняется метода замена переменной в определенном интеграле? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

6. Как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

7. Как вычисляются площади плоских фигур и объемы фигур вращения с использованием определенного интеграла? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

3. Необходимо выполнить:

- представленные общие исходные задания;

- представленные индивидуальные задания для студентов, работающих в более быстром темпе (можно выполнить в качестве Д/з);

- оформление отчета о лабораторной работе;

- защита лабораторной работы производится во фронтальной форме.

4. Задания

Общие:

№1. Вычислить определенные интегралы, используя таблицу интегралов:

1) ; 2) ; 3) ; (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

№2. Вычислить определенные интегралы, используя замену переменных:

1) ; 2) ; 3) ; 6) . (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

№3. Вычислить определенные интегралы, последовательно применяя формулы интегрирования по частям:

1) ; 2) ; (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

№4.Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

1) y = x ²+3, xy =4, y =2, x =0;

2) y =3+2 x — x ², y = x +1. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

№5. Под строительство молочной фермы задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t)=-t²+20t+5 (млн. руб./месяц) в течение 20 месяцев. Найти стоимость этого потока. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

Индивидуальные:

Вариант 1.

№1. Вычислить определенный интеграл:

а) ; б) ; (ОК-1, ОК-20, ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями у=lnх, х=е и у=0. (ОК-1, ОК-20, ПК-31)

№3. Известно, что скорость впитывания воды в почву (в первые 2—3 часа) изменяется по закону υ(ƒ) = ,

где υ₁(в см/мин)— скорость впитывания в конце первой минуты,

α—коэффициент затухания скорости, зависящий от свойств рассматриваемой почвы (для большинства почв 0,3< <0,8),

t –время.

Определить толщину слоя воды, который впитывается в почву за 20 мин. (Решение в общем виде.) (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

Вариант 2.

№1. Вычислить определенный интеграл:

а) ; б) ; (ОК-1, ОК-20, ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями у = х+4х² и у=х+ 4. (ОК-1, ОК-20, ПК-31)

№3. Скорость точки меняется по закону υ = (100+8t) м/с. Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени [0 10]? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

Вариант 3.

№1. Вычислить определенный интеграл:

а) ; б) ; (ОК-1, ОК-20, ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями у = х² и у=2- х². (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

№3. Определить объем выпуска продукции за первые пять часов работы при производительности ƒ(t) = 11,5·e-0,5t, где t—время в часах. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

Вариант 4.

№1. Вычислить определенный интеграл:

а) ; б) . (ОК-1, ОК-20, ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную графиком функции у = sin x, осью х, где 0 x . (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

№3. Для сжатия пружины на 5 см требуется сила 100 Н. Вычислить работу, которую потребуется затратить для сжатия пружины на 3 см. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

Вариант 5.

№1. Вычислить определенный интеграл:

а) ; б) . (ОК-1, ОК-20, ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную графиком функции у = -2+3 х — х ² и осью х. (ОК-1, ОК-22, ПК-31)

№3. Известно, что скорость впитывания воды в почву (в первые 2—3 часа) изменяется по закону υ(ƒ) = ,

где υ₁(в см/мин)-- скорость впитывания в конце первой минуты,

α—коэффициент затухания скорости, зависящий от свойств рассматриваемой почвы (для большинства почв 0,3< <0,8),

t –время.

Определить толщину слоя воды, который впитывается в почву за 30 мин. (Решение в общем виде.) (ОК-1, ОК-22, ПК-31)

Вариант 6.

№1. Вычислить определенный интеграл:

(ОК-1, ОК-22, ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную графиком функции у = 4х—х² и осью х. (ОК-1, ОК-22, ПК-31)

№3. Скорость точки меняется по закону υ = (10+8t2) м/с. Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени [0 10]? (ОК-1, ОК-22, ПК-31)

Вариант 7.

№1. Вычислить определенный интеграл:

(ОК-1, ОК-22,ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную графиком функции у = 16—х4 и осью х. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№3. Найти дневную выработку Р за рабочий день с 8 до 14 часов, при производительности труда P=P(t)= — + 5 t —15. (эта формула отражает процесс работы, при котором производительность растет на протяжении первых двух часов, а затем падает). (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

Вариант 8.

№1. Вычислить определенный интеграл:

а) ; б) . (ОК-1, ОК-22,ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную графиком функции у = 4—х2 и осью х. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№3. Определите объем тела, образованного в результате вращения фигуры, ограниченной линиями: у2 =8х, 1 х 2 вокруг оси Ох. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№4. Определить объем выпуска продукции за первые пять часов работы при производительности ƒ(t) = 11,3e^-0,417t, где t—время в часах. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

Вариант 9.

№1. Вычислить определенный интеграл:

а) ; б) ; (ОК-1, ОК-22,ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = 2 х ²+6 х +5, осью х и осью у. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№4. К пружине подвешена гиря в 60 кг, растянувшая её на 20 см. Определите работу, совершаемую при этом силой тяжести. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

Вариант 10.

№1. Вычислить определенный интеграл:

а) ; б) ; в) .(ОК-1, ОК-22,ПК-31)

№2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = -2+3 х + х ² и осью х. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)

№3. Вычислите работу, совершаемую при растяжении пружины на 10 см, если для растяжения её на 1 см необходима сила 60 Н. (ОК-1, ОК-13, ОК-22, ПК-31)