Исследование функции одной переменной

(2 часа)

Цель: овладеть математическими знаниями и навыками исследования функций и построения графиков функций для использования их в задачах практического содержания.

На лабораторном занятии формируются

знания:

- о монотонности функции,

- о точки минимума (максимума),

- о необходимом условии экстремума функции,

- о первом и втором достаточных условиях экстремума,

- о точке перегиба,

- о достаточном условии выпуклости (вогнутости) графика функции;

умения:

-нахождения интервалов монотонности и экстремумов функции,

- выполнять действий при нахождении интервалов выпуклости и вогнутости, а также точек перегиба графика функции;

навыки:

- применения исследования функций и построения графика функции в задачах практического содержания.

Материально-техническое оборудование:

компьютерный класс.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ.

2.Проверка знаний студентов — их теоретической готовности к выполнению заданий.

3. Общее описание задания.

4. Выполнение заданий.

5. Оформление отчета о лабораторной работе.

6. Анализ

Глоссарий

Выучите определения следующих терминов:

монотонность функции, признак монотонности функции, основные способы задания функции, точки минимума (максимума), критические точки, стационарные точки, достаточное условие возрастания и убывания функции на интервале, необходимое условие экстремума функции, достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции на интервале, точка перегиба, необходимое и достаточное условия точки перегиба, асимптота графика функции, исследование и построением графика функции.

ХОД ЗАНЯТИЯ

1. Инструктаж по ТБ.

2. На лабораторном занятии используется фронтальная и индивидуальная формы работы.

Контрольные вопросы

1. Что называется интервалом монотонности функции? ((ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

2.Сформулируйте достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

3. Что называется точкой и значением максимума (минимума) функции? Какое общее название имеют максимум и минимум? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

4. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

5. Как называются точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума функции? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

6. Сформулируйте первое и второе достаточные условия экстремума. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

7. Изложите порядок действий при нахождении интервалов монотонности и экстремумов функции. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

8.Какой график функции является выпуклым (выпуклым вверх), а какой вогнутым (выпуклым вниз) на интервале? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

9. Какая точка называется точкой перегиба графика? (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

10. Сформулируйте достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции на интервале. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

11. Сформулируйте необходимое и достаточное условия точки перегиба. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

11.Изложите порядок действий при нахождении интервалов выпуклости и вогнутости, а также точек перегиба графика функции. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

3. Необходимо выполнить:

- представленные общие исходные задания;

- представленные индивидуальные задания для студентов, работающих в более быстром темпе (можно выполнить в качестве Д/з);

- оформление отчета о лабораторной работе;

- защита лабораторной работы производится в индивидуальном порядке.

4. Задания

Общие:

№1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

1) y =х³+3х²-9х+12. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

№2.Найти интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба графика функции у = х⁴ +2х³—12х²—5х+2. (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

№3. Произвести полное исследование функции и построить график функцииу = (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

Индивидуальные: (ОК-1, ОК-20, ОК-22, ПК-31)

Задание: Произвести полное исследование функции и построить график функции.

Вариант 1. Вариант 2.

у = х³— х²—4х + 10; у = - х³ + х² + х — 1;

Вариант 3. Вариант 4.

у = х³ + х² — х — 1; у = х³— х² +3х + 3;

Вариант 5. Вариант 6.

у = - х³ + 6х — 1; у = х³ + 3х²—7;

Вариант 7. Вариант 8.

у = х³— х² + 8; у = х³— х²—3х + 10;

Вариант 9. Вариант 10.

у = х³— х² + 2; у = х³ + х²— х + 2;

Вариант 11. Вариант 12.

у = х³ + х²—3х + ; у = х³— х² + 3х + 3;

Вариант 13. Вариант 14.

у = х³— х²— х + 1; у = - х³ + х + 2;

Вариант 15. Вариант 16.

у = х³— х²— х — ; у = - х³—6х — 1;

Вариант 17. Вариант 18.

у = - х³ + х² + 3х — 6; у = х³— х²—4х;

Вариант 19. Вариант 20.

у = х³— х²—3х; у = х³— х².

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Интервалы монотонности и экстремумы функции одной переменной

Достаточное условие возрастания (убывания) функции на интервале :

- если функция имеет производную на интервале и во всех точках этого интервала выполняется

,

то функция является монотонно возрастающей (убывающей) на этом интервале.

Рис.4.

Область решения неравенства является областью монотонного возрастания функции , а область решения неравенства - областью монотонного убывания функции.

Точка х₀ называется точкой максимума (max) функции , если существует окрестность точки х₀ такая, что для любого , принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство и точкой минимума (min), если .

Значение функции в точке х₀ называется соответственно максимум или минимум функции . Максимум и минимум имеют общее название "э кстремум " (рис.4).

Необходимое условие экстремума можно сформулировать следующим образом:

- если функция имеет экстремум в точке х₀, то ее производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует.

Пример: функция . Она имеет экстремум (минимум) в точке х₀ =0. Производная этой функции в точке х₀ равна нулю.

График функции изображен на рис.5

Из графика очевидно, что эта функция имеет экстремум (минимум) в точке х₀ =0. Однако производная этой функции

в точке х₀ не существует, так как при х =0 знаменатель дроби обращается в ноль.

Рис.5. График функции

Необходимое условие экстремума не является достаточным, т.е. производная функции в точке х₀ может быть равна нулю или не существовать, но между тем экстремума в этой точке нет. Так, например, производная функции в точке х =0 равна нулю, но никакого экстремума в этой точке нет.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть х₀ - критическая точка функции , и если при переходе через точку х₀ слева направо изменяет знак с "+" на "-", то в точке х₀ - максимум, если с "-" на "+", то минимум. Если при переходе не изменяет знак, то экстремума в точке х₀ нет.

Второе достаточное условие экстремума, которое формулируется следующим образом.

Пусть в критической точке х₀ производная функции равна нулю, т.е. , и в этой точке существует вторая производная .

Тогда если

,

то в точке х₀ - минимум,

если ,

то в точке х₀ - максимум,

а если Ошибка! Ошибка связи.,

то экстремума в точке х₀ нет.

Можно рекомендовать следующую схему исследования функции на экстремумы.

1. Найти выражение для .

2. Найти критические точки функции, решив уравнение или определив значения х_i, при которых не существует, но существует исходная функция .

3. а) Исследовать изменение знака при переходе через каждую критическую точку х_i и, использовав первое достаточное условие, определить, есть ли в этой точке экстремум и какой именно.

б) Если в критической точке , то найти в этой точке и по ее знаку, использовав второе достаточное условие экстремума, определить наличие и характер экстремума.

4. Найти значения экстремумов, подставив точки экстремумов х_i в формулу .

В ряде задач требуется найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на некотором отрезке . По теореме Вейерштрасса эти значения достигаются

Рекомендуется следующая схема решения этой задачи.

1. Найти выражение для .

2. Найти критические точки функции , принадлежащие отрезку .

3. Найти значения функции в критических точках.

4. Найти значения функции на концах отрезка, т.е. и .

5. Выбрать из найденных значений по п.3, 4 наибольшее и наименьшее.

Выпуклость и вогнутость графика функции и точки перегиба

График функции называется выпуклым (в некоторых книгах – выпуклым вверх) на интервале , если на этом интервале он лежит ниже любой своей касательной, и вогнутым (выпуклым вниз), если выше (рис.6).

Точка, разделяющая интервал выпуклости и интервал вогнутости графика функции, называется точкой перегиба (графика) функции.

Можно доказать, что если - вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна на интервале , то график вогнутый, а если , то выпуклый на этом интервале. Это условие является достаточным условием выпуклости и вогнутости графика функции на рассматриваемом интервале.

Рис.6. График функции

а – выпуклый (выпуклый вверх); б – вогнутый (выпуклый вниз)

Необходимое условие точки перегиба

Пусть х ₀ - точка перегиба функции . В этой точке вторая производная равна нулю или не существует.

Точки, в которых выполняется необходимое условие точки перегиба, называются критическими точками второго рода функции .

Достаточное условие точки перегиба формулируется следующим образом.

Пусть х ₀ - критическая точка второго рода функции .Тогда если при переходе через эту точку изменяет знак на противоположный, то х ₀ - точка перегиба, а если не изменяет знак, то перегиба графика функции в точке х ₀ нет.

Изложим схему исследования функции на выпуклость и точки перегиба графика.

1. Найти выражение для .

2. Найти критические точки второго рода функции, решив уравнение .

3. Решить два неравенства и . При этом область решения неравенства является областью вогнутости графика функции , а область решения неравенства - областью выпуклости.

4. Определить, изменяет ли знак вторая производная функции при переходе через критические точки второго рода, и сделать вывод о наличии или отсутствии перегиба графика функции в этих точках. Найти значение функции в точке перегиба.

Исследование функции одной переменной и построение ее графика

При исследовании функции необходимо определить следующее.

1. Область определения функции.

2. Четность и периодичность.

3. Непрерывность, точки разрыва и их классификацию.

4. Асимптоты графика функции.

5. Интервалы монотонности и экстремумы.

6. Выпуклость и точки перегиба.

7. Некоторые дополнительные точки, уточняющие график (например, точки пересечения графика с осями координат и т.п.)

После этого выполнить построение графика.

5. Рекомендуемое содержание отчета (для студента).

1. Название лабораторной работы.

2. Цель и задачи исследований.

3. Электронно-вычислительные средства для расчетов.

4. Журнал (тетрадь) исследований (вычислений) с обработкой полученных данных в виде таблиц, графиков (по требованию).

5. Выводы.

6. Анализ и защита лабораторной работы производится индивидуально по результатам представленного отчета (перечень сделанного, представленные общие и индивидуальные задания, (формулы, основные свойства, график), ответы на рассмотренные в процессе выполнения контрольные вопросы.

Преподаватель оценивает знание каждого студента.

Литература