Многогранники. Основные понятия. Образование поверхностей некоторых многогранников

Классификация поверхностей

В настоящее время приняты следующие наиболее важные признаки классификации поверхностей:

1 По закону движения образующей: поверхности с поступательным движением образующей, с вращательным движением образующей - поверхности вращения, с винтовым движением образующей – винтовые поверхности.

2 По форме образующей – поверхности с прямолинейной образующей линейчатые поверхности и поверхности с криволинейной образующей.

3 По закону изменения формы образующей – с образующей постоянной формы и с образующей переменной формы.

4 По признаку развертывания участка поверхности в плоскую фигуру – развертываемые и не развертываемые.

5 По закону образования – закономерные и незакономерные. Закономерные могут быть и алгебраическими, и трансцендентными. Алгебраические могут быть первого, второго и выше порядков.

6 По дифференциальным свойствам – гладкие, негладкие и др. Заметим, что одни и те же поверхности могут быть классифицированы по различным признакам.

Многогранники. Основные понятия. Образование поверхностей некоторых многогранников

Многогранной поверхностью называется совокупность таких плоских многоугольников, у которых каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного).

Многоугольники эти называются гранями, стороны их – ребрами, а вершины – вершинами многогранника. Совокупность всех граней многогранника называется его поверхностью. Мы будем рассматривать только выпуклые многогранники, т. е. такие, которые можно расположить по одну сторону от плоскости любой его грани.

Образование поверхностей некоторых многогранников подчинено определенным законам. Так, боковая поверхность призм (призматическая поверхность) образуется при таком движении прямой АВ – образующей по ломаной направляющей MN, когда прямая АВ остается во все время движения параллельной самой себе (рисунок 5.4). Боковая поверхность пирамид (пирамидальная поверхность) получается при движении прямолинейной образующей АВ, проходящей через фиксированную точку S, по направляющей MN (рисунок 5.5).

Рисунок 5.4	Рисунок 5.5

В том предельном случае, когда направляющая ломаная становится криволинейной, призматическая поверхность становится цилиндрической, а пирамидальная – конической.

Проекции многогранников. Видимость ребер

Положение многогранника в пространстве может быть задано различным образом: или координатами его вершин, или основанием и высотой (если многогранники прямые и правильные), или одной из его граней (если многогранник правильный) с указанием числа граней.

Особого внимания заслуживает вопрос об определении видимости проекций ребер многогранника на эпюре.

Внешний контур проекции многогранника будет всегда видимым. Видимость же проекций ребер внутри контура определяется при помощи лучей зрения, проходящих через точки пересечения проекций ребер перпендикулярно к П₁ и П₂ (с помощью конкурирующих точек).

На рисунке 5.6 представлены проекции некоторого четырехгранника ABCS. Для определения видимости ребер внутри контура горизонтальной проекции взят луч зрения l₂, перпендикулярный к плоскости П₁ и проходящий через точку пересечения горизонтальных проекций ребер SC и АB (необходимо помнить, что луч зрения направлен сверху вниз). Из рассмотрения фронтальной проекции этого луча следует, что он раньше пересечет ребро SC вточке 1, а затем АВ в точке 2. Значит, ребро SC при виде сверху будет видимым.

Луч зрения l₁, направленный перпендикулярно к плоскости П₂ и проходящий через точку пересечения вертикальных проекций ребер SB и АС, показывает, что ребро SB расположено ближе к зрителю, чем ребро АС. Этот вывод сделан из рассмотрения горизонтальной проекции луча, которая пересекает проекцию ребра SB в точке 3 ранее, чем проекцию ребра АС в точке 4.