Точка В движется в плоскости ху (рис. К1.0– К1.9, табл. К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями , , где x и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.
Найти уравнение траектории точки; для момента времени t1 =1 с определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное н нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Зависимость указана непосредственно на рисунках, а зависимость дана в табл. К1 (для рис. 0–2 в столбце 2, для рис. 3–6 в столбце 3, для рис. 7–9 в столбце 4). Как и в задачах C1–C5, номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. К1 – по последней.
Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки.
В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t1 =1 с. D некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные из тригонометрии формулы: .
Таблица К1
Номер условия | |||
рис. 0-2 | рис. 3-6 | рис. 7-9 | |
Рис. К1.0 | Рис. К1.1 | Рис. К1.2 | |||
Рис. К1.3 | Рис. К1.4 | Рис. К1.5 | Рис. К1.6 | ||
Рис. К1.7 | Рис. К1.8 | Рис. К1.9 | |||
Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости ху:
;
(x, y – в сантиметрах, t – в секундах).
Определить уравнение траектории точки; для момента времени t1 =l с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу
или (1)
Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим
,
следовательно,
Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1):
(2)
Рис. К1
2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси;
;
;
и при t =l c.
v1x =1,11 см/с, v1y = 0,73 см/с, v1 =1,33 см/с. (3)
3. Аналогично найдем ускорение точки:
; ;
и при t =1 с
a 1x=0,87 см/с2, a1y =-0,12 см/с2, a1 =0,88 см/с2. (4)
4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство .Получим:
и (5)
Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5), определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, найдем сразу, что при t =1 с alτ =0,66 см/с2.
5. Нормальное ускорение точки . Подставляя сюда найденные числовые значения at и аи, получим, что при t =1 с a1n =0,58 см/с2.
6. Радиус кривизны траектории . Подставляя сюда числовые значения v1 и а1n, найдем, что при t =1 с ρ1 =3,05 см. Ответ: v1 =1,33 см/с, а1 =0,83 см/с2, а1τ =0,66 см/с2, aln =0,58 см/с2, ρ1 =3,05 см.