2015-10-13
1121
Второй центральный момент (М2) называется дисперсией 
 |
Для гауссовского распределения
Само 
называется среднеквадратичной флуктуацией. Смысл для гауссовского распределения - ширина кривой по 
, характеризующая степень разброса вблизи среднего. Говорить о имеет смысл когда 
Def: 
- относительная флуктуация.
Задачи по теории вероятностей.
1. В корзине 20 шаров 10 черных и 10 белых. Найти вероятность того, что из трех наугад вытащенных шаров два окажутся одного цвета.
Решение: Запишем это событие в виде 
Все элементарные события – независимы, поэтому можно применять теорему о сложении вероятностей:
Для вычисления 
применить теорему умножения вероятностей.
Аналогично для 
и 
.
Таким образом
2. Три стрелка стреляют в мишень вероятность попадания одного стрелка – 0,8, второго – 0,7, третьего – 0,6. Определить вероятность того, что в мишень попало два стрелка.
Решение: Запишем это событие в виде 
Все эти события независимы, так что вероятности просто нужно сложить (черта означает вероятность непопадания).
|
|
|
и.т.д.
Так что:
3. Определить вероятность выигрыша в 6 из 45
Решение:Пусть все шары вытаскивают до последнего. В результате получаем конфигурацию чисел 
. Это можно реализовать 
способами, причем внутри каждой группы числа могут идти в любой последовательности, например:
- эквивалентная конфигурация, поэтому число различных перестановок между двумя группами будет в 
раз меньше и равно 
Выигрышной будет только одна комбинация, когда 6 заданных чисел выпадут первыми в любой последовательности.
5 номеров: истинных номеров среди первых шести должно быть пять (с любыми перестановками пяти истинных и одного ложного номера). При этом один истинный номер должен попасть в группу к ложным.
Таких вариантов будет очевидно 
Аналогично для 4: 
3: 
4. Плотность распределения 
. Найти вероятность обнаружить значение больше ее удвоенного среднего.
Решение:
Найдем с: 
Искомая вероятность:
5. Плотность распределения 
. Найти вероятность того, что при случайном наблюдении ее значение будет больше среднего.
Решение: 
. (дифференцирование по параметру).
6. Случайная фаза распределена по отрезку 
с плотностью 
. Найти 
. (
вне отрезка равна нулю).
Решение: 
, следовательно 
и 
.
7. Плотность распределения 
. Найти с и вероятность того, что лежит в интервале 
.
Решение: из условия нормировки находим:
.
Искомая вероятность равна:
.
8. Математический маятник совершает колебания по закону 
. Найти вероятность того, что при случайном измерении угла его значение будет лежать в интервале 
.
Решение: Мерой вероятности является время которое маятник проводит в данном интервале углов.
|
|
|
(за период данный сектор маятник проходит дважды)
и, следовательно
.
