Решение

1.Рассмотрим движение неизменяемой механической системы, состоящей из весомых тел 2, 3, 5 и невесомых тел 1 и 4, соединенных нитями. Изобразим действующие на систему внешние силы: активные F, F_упр, Р₂, Р₃, Р₅, F_тр2, момент сопротивления М, натяжение нити S₅ и реакции связей N₂, N₃, N₄.

2. Для определения v_c₅ воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: , где – соответственно, сумма работ внешних и внутренних сил системы.

Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, работа внутренних сил равна нулю.

В начальном положении все элементы механизма находились в покое, скорости всех тел были равны нулю, поэтому Т₀=0.

3. Кинетическая энергия системы равна сумме энергий всех тел системы:

Т= Т₂+ Т₃+ Т₅.

4. Выполним кинематический анализ:

- тело 2 движется поступательно;

- тело 3 вращается вокруг неподвижной оси;

- тело 5 участвует в плоскопараллельном движении.

Исходя из этого, кинетическая энергия системы может быть представлена выражением:

5. Кинетическая энергия Т, которую получила система после того, как груз переместился вдоль наклонной плоскости на расстояние s₁, зависит от искомой скорости v_c₅. Поэтому все скорости, входящие в выражение кинетической энергии данной механической системы, выразим через скорость v_c₅.

6. Поскольку грузы 1 и 2 связаны нерастяжимой нитью, то их скорости равны. В свою очередь эта нерастяжимая нить перекинута через малый обод шкива 3, следовательно: v₁= v₂= v_А, где v_А – любая точка обода радиуса r₃ шкива 3.

7. Линейные скорости шкива 2 и блока 5 зависят от одной угловой скорости ω₃: v₂= ω₃r₃, v₅= ω₃R₃.

8. Поскольку точка К₅ является мгновенным центром скоростей для блока 5 (он как бы «катится» по участку нити К₅L), то v₅=2v_c₅. Тогда:

9. Осевые моменты инерции подвижного блока 5 и ступенчатого шкива 3 определяется выражениями:

10. Выполнив подстановку всех приведенных выше значений в выражение кинетической энергии для заданной механической системы, получим:

11. Находим работу всех действующих внешних сил при перемещении, которое будет иметь система, когда груз 1 пройдет путь s₁=0,2 м. Введем следующие обозначения: s₂– перемещение груза 2 (s₂=s₁); φ₃ – угол поворота шкива 3; h₅ – перемещение центра масс блока 5; λ₀, λ₁ –начальное и конечное удлинение пружины.

Сумма работ всех внешних сил равна:

, где

Работы остальных сил равны нулю:

- точка К₅ – мгновенный центр скоростей, поэтому работа силы натяжения

- нити S₅ равна нулю;

- реакция опоры N₂ перпендикулярна перемещению груза 2, а поэтому работы не совершает;

- реакции N₃, N₄, приложенные в неподвижных точках, не совершают работы.

По условию задачи λ₀=0, тогда λ₁ = s_c₅ – перемещение конца пружины. Выразим величины s_c₅ и φ₃ через заданное перемещение s₁. Зависимость между перемещениями такая же, как между соответствующими им скоростями:

12. Поскольку v₅=v₃=ω₃R₃ и v_c₅=0,5v₅, то v_c₅=0,5ω₃R₃. Следовательно, λ₁ = s_c₅=0,5φ₃R₃=0,5(s₁R₃)/r₃.

13. При найденных значениях φ₃ и λ₁ получим выражение для подсчета суммы работ всех внешних сил, действующих на механическую систему:

14. Кинетическую энергию приравниваем к работе:

Подставив в полученное выражение известные численные значения заданных величин, найдем искомую скорость v_c₅.

Ответ: v_c₅ = 2,10 (м/c).

Литература

1. Дронг В.И., Дубинин В.В., Ильин М.М. Под ред. Курс теоретической механики. Под ред. Колесникова К.С. М.: Из-во МГТУ им. Баумана Н.Э. 2002.-736 с.

2. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М.: Высш. школа. 2003.-719с.

3. Тарг. С.М. Курс теоретической механики. М.: Высшая школа. 2009.-416 с.

4. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики. Спб: Из-во «Лань»,2004.-768 с.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. Санкт-Перетбург,-Краснодар-Москва: Из-во «Лань», 2005.- 448 с.

6. Яблонский А.А. и др. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Учебное пособие для технических вузов.Под ред. Яблонского А.А. М.: Интеграл-пресс, 2004,-384 c.

Условные обозначения

№ п/п	Наименование величин	Обозначение
	Вектор силы
	Модуль силы	N, Q, ….F₁, F₂,… F_n
	Проекции силы на координатные оси	X_A, Y_A, Z_A
	Векторный момент силы относительно точки
	Скалярный момент силы относитнельно точки
	Момент силы относительно оси
	Относительные: скорость, ускорение
	Переносные: скорость, ускорение
	Угловая скорость
	Угловое ускорение
	Ускорение Кориолиса