Диапазон использования функции тангенса

Важным показателем стабильности изменения характеристики K_hi является мера её изменения на всем промежутке варьирования от первой до девятой фазы, выраженная отношением последующего значения K_{h (i+1)} к предыдущему K_hi:

DK_hi = K_h(i+1) / K_hi (5)

Для оценки меры стабильности рассмотрим все интервалы изменения показателя порядка фазы строенияK_hi при переходе от данной фазы к предыдущей. Величины отношений K_h(i+1) / K_hi условно привяжем к усредненным значениям порядка фаз N_F, соответствующим (K_h(i+1) – K_hi)/2. Практические вычисления этих величин по данным Табл.1 (по Н.Г.Новикову) возможны лишь в пределах ∆N_F^N = 2,5÷7,5.

В Таблице 4 приведены данные расчета величин DK_hiдля отношений значений порядков фаз строения ткани по Н.Г.Новикову DK_h^N и по закону тангенса DK_h^tg.

Таблица 4.

Изменение меры стабильности DK_hi при переходе от данной фазы к предыдущей

NF(i+1)/ NFi	2/1	3/2	4/3	5/4	6/5	7/6	8/7	9/8
	DKhN	-	2,328	1,802	1,666	1,666	1,802	2,328	-
DKhtg	3,06269	1,74028	1,50159	1,42815	1,42815	1,50159	1,74028	3,06269

На Фиг.3 приведены графики изменения DK_hi^Nпо методу Н.Г. Новикова (штриховая кривая) и ∆К_h^tg по закону тангенса (сплошная кривая). Наглядно видно, что диапазон DN_F^N_{(2,5 -7,5)} изменения реальных значений отношения K_h(i+1) / K_hi (штриховая кривая) на участке от N_F от 2,5 до 7,5 равен пяти фазам, что соответствует DK_h^N_(2,5-7,5) = 0,662.

Фиг.3

Если взять этот же участок изменения аргумента (фаз) для сплошной кривой, то диапазон изменения отношения K_h(i+1) / K_hi составляет всего DK_h^tg_(2,5-7,5) = 0,238, т.е. в 2,78 раз меньше.

Если ориентироваться на максимальное значение меры стабильности по Новикову Н.Г. DK_h^N = 2,328 (см. Таблицу 4), то при использовании функции тангенса можно обнаружить существенное увеличение диапазона варьирования порядка фаз: DN_F^tg_{(1,885-8,115)} = 6,23 фаз.

Определение величины DN_F^tg_{(1,885-8,115)} можно осуществить следующим образом. Из Фиг.3 граничные значения меры стабильности запишем как DК_h^tg_(2-X1) и DК_h^tg_(8+X2) . Вследствие симметрии сплошной кривой достаточно определить одну из величин X₁ = X₂.

DК_h^tg_(2-X1) = 2,328 = DК_h^tg ₍₂₎ / X₁ = 0,267949 / X₁

Откуда: Х₁ = DК_h^tg_X1 = 0,1151; (2-Х₁) = 1,885 и (8+Х₂) = 8,115.

В итоге получаем величину диапазона изменения порядка фаз DN_F ^tg_{(1,885 -8,115)}= 6,23 фаз.

Далее следует обратить внимание на существенное расширение участка варьирования реальных значений величины отношения (K_h(i+1) / K_hi) = DK_h^tg при использовании закона тангенса (сплошная кривая), который увеличен до DN_F^tg_(1,5-8,5) = 7 фаз, т.е. в 1,4 раза. Кроме этого, существенное практическое значение имеет также факт высокой стабилизации величины DK_h^tgна участке между 3,5 и 6,5 фазами, где DK_h^tg_{(3,5-6,5 )} = 0.073.Этот участок незначительного изменения DK_h^tg (всего 5,1%) отображается на Фиг.3 участком сплошной линии, близкой к прямой.

Таким образом, аппроксимация возможного варьирования отношения h_wp / h_wft четким законом тангенса существенно расширяет границы определения коэффициента К_hi^tg, повышает эффективность расчетов и позволяет установить полезные для практики анализа структуры ткани новые математические модели параметров расположения нитей в ткани, о чем будет сказано ниже.