2015-10-13
709
Довжина елементарної дуги dS довільною плоскою кривою обчислюється
за відомою формулою
де - радіус кривизни кривої в початковій точці; 
- кут між нормалями в початковій і кінцевій точках дуги (кут суміжності). Застосуємо цю формулу для обчислення довжин дуг меридіана і паралелі.
Довжина дуги меридіана
Відповідно до формули (1.60) і рис.1.7 для диференціала довжини дуги меридіана матимемо
Рис.1.7. Диференціал довжини дуги меридіана
Для обчислення довжини дуги меридіана кінцевих розмірів, наприклад, в межах широт від О до В з урахуванням формули (1. 48) необхідно знайти інтеграл
Отриманий інтеграл відноситься до класу еліптичних інтегралів і в елементарних функціях не виражається. Існує кілька способів наближеного обчислення інтеграла виду (1.62). Якщо точки меридіана з широтами В1 і В2 розташовані досить близько один до одного, наприклад, як це буває при обчисленні довжин східної і західної сторін сферичної трапеції, зображуваної на площині у вигляді рамки листа карти того чи іншого масштабу (до 1: 1 000 000), то (1. 62) прийме вигляд
|
|
|
Даний інтеграл можна обчислити за формулою Сімпсона
де обчислюють за формулами (1.48) відповідно для широт 
Інший спосіб полягає в розкладанні підінтегральної функції (1.62) в ряд і наступному по членному його інтегруванні, тобто
Де
Наведемо чисельні значення коефіцієнтів ряду (1.64) для еліпсоїдів Красовського (ліва колонка) і WGS-84 (права колонка):
З коефіцієнтами, обчисленими за елементами еліпсоїда Красовського, цей ряд (1.64) можна привести до виду більш зручному для обчислень.
Точність обчислень за цією формулою становить 0,0001 м.
