Непрерывность функции

1.1. Непрерывность функции в точке Определение. Функция у = f (x), определённая на интервале ] a, b [, называется непрерывной в точке х ₀ Î ] a, b [, если

f (х) = f (х ₀) (то есть предел функции равен её значению при предельном значении аргумента). Так как равенство в определении равносильно следующему

(f (х) – f (х ₀)) = 0, то функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции. Теорема 1.1.1. Если функции f(x) и j(х) непрерывны в точке х , то также непрерывны в этой точке их сумма f(x) + j(х), разность f(x) – j(х), произведение f(x)×j(х), а также частное при условии, что j(х) ¹ 0. Следствие 1. Целая рациональная функция Р_n(х) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + … + a _n x ⁿ непрерывна при всех х. Следствие 2. Дробно рациональная функция

R(x) =

непрерывна при всех х, для которых знаменатель не обращается в нуль. Теорема 1.1.2. Если функция j(х) непрерывна в точке х₀, а функция f(у) непрерывна в точке у₀ = j(х₀), то сложная функция F(x) = f(j(х)) непрерывна в точке х₀. 1.2 Точки разрыва функции Рассмотрим функцию у = f (x), определённую на интервале ] a, b [, кроме, быть может, точки х ₀ Î ] a, b [. Определение. Точка х ₀ называется точкой разрыва данной функции, если в ней функция определена, но не является непрерывной, или не определена в этой точке. Если х ₀ – точка разрыва функции f (x) и существуют конечные пределы f (х ₀ – 0) =

f (х), f (х ₀ + 0) =

f (х), то она называется точкой разрыва первого рода. Величина f (х ₀ + 0) – f (х ₀ – 0) называется скачком функции f (x) в точке х ₀. Пусть функция у = f (x) имеет разрыв в точке х ₀ и f (х ₀ + 0) = f (х ₀ – 0), тогда х ₀ называется точкой устранимого разрыва. Это название оправдано тем, что если доопределить такую функцию (если она не была определена в точке х ₀), положив f (х ₀) =

f (х) =

f (х), то получится функция, непрерывная в точке х ₀. Например, для функции f (x) =

точка х ₀= 0 является точкой устранимого разрыва. Если х ₀ – точка разрыва и, по крайней мере, один из пределов f (х ₀ + 0), f (х ₀ – 0) является бесконечным или не существует, то х ₀ называется точкой разрыва второго рода. Например, 1) точка х ₀ = 0 – точка разрыва второго рода для функции f (x) =

, поскольку f (х ₀ – 0) = –¥, f (х ₀ + 0) = +¥; 2) так как f (х ₀ + 0) = +¥, то точка х ₀ = 0 является точкой разрыва второго рода для функции f (x) = 3

(см. рис. 1). 1.3. Непрерывность функции на промежутке Определение. Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Если функция определена при х = а и при этом

f (х) = f (а), то говорят, что f (х) в точке а непрерывна справа. Аналогично, если

f (х) = f (b), то говорят, что в точке b эта функция непрерывна слева. Определение. Функция называется непрерывной на отрезке [ a, b ], если она непрерывна в каждой его точке (в точке а непрерывна справа, в точке b – непрерывна слева). Наибольшим значением функции у = f (x) на отрезке [ a, b ] называется такое её значение f (x ₁), что f (x) £ f (x ₁) для всех х Î [ a, b ]. Наименьшим значением функции у = f (x) на отрезке [ a, b ] называется такое её значение f (x ₂), что f (x) ³ f (x ₂) для всех х Î [ a, b ]. Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом важных свойств, которые выражаются следующими теоремами. Теорема 1.3.1. Функция, непрерывная на отрезке [a, b], достигает на нём своего наименьшего значения m и наибольшего значения M, то есть существуют такие точки x₁ и x₂ этого отрезка, что f(x₁) = m, f(x₂) = M. Теорема имеет простой геометрический смысл (см. рис.2). Теорема 1.3.2. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и на его концах принимает неравные значения f(а) = А, f(b) = В, А ¹ В, то каково бы ни было число С, заключённое между А и В, найдётся точка с Î [a, b] такая, что f(с) = С. Геометрический смысл теоремы иллюстрируется на рис.3. Всякая прямая у = С, где A < C < B (или A > C > B), пересекает график функции у = f (x). Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает

значения разных знаков, то на этом отрезке найдётся хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль. Геометрический смысл следствия иллюстрируется на рис.4. Производная функции. Физический и геометрический смысл производной. Правила дифференцирования Производная функции одно из основополагающих понятий математического анализа. Мы рассмотрим основные понятия и теоремы связанные с производной функции, также обсудим геометрический и физический смысл производной функции, приведем перечень правил, которые нужно соблюдать при вычислении производной функции одной переменной и сложной функции.

1. Определение производной функции.
Необходимое условие существования производной

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности. Придадим аргументу приращение такое, что точка попадает в область определения функции. Функция при этом получит приращение .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента , при (если этот предел существует и конечен), т.е.

Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.

Теорема1. (необходимое условие существования производной функции в точке). Если функция y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x) в этой точке непрерывна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть существует . Тогда

Где – бесконечно малая при .

;

Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке (по геометрическому определению непрерывности). ∎

Замечание. Непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в точке . Например, функция y = |x| непрерывна, но не имеет производной в точке .

Очевидно, что соответствие является функцией, определенной на некотором множестве . Ее называют производной функции y = f(x) и обозначают