Понятие функции. Отображение множеств

Пусть X и Y – два произвольных множества.

Определение. Говорят, что на X определена функция f, принимающая значение из Y, если каждому элементу x Î X поставлен в соответствие один и только один элемент y Î Y. При этом множество X называется областью определения данной функции, а множество Y – её областью значений.

Для множеств произвольной природы вместо термина «функция» часто пользуются термином «отображение», говоря об отображении одного множества в другое.

Если а элемент из X, то соответствующий ему элемент b = f (а) из Y называется образом а при отображении f. Совокупность всех тех элементов а из X, образом которых является данный элемент b Î Y, называется прообразом (или точнее полным прообразом) элемента b и обозначается f ^–1(b).

Пусть А – некоторое множество из X; совокупность { f (а): а Î А} всех элементов вида f (а), где а Î А, называется образом А и обозначается f (А). В свою очередь для каждого множества В из Y определяется его полный прообраз f ^–1(В), а именно: f ^–1(В) есть совокупность всех тех элементов из X, образы которых принадлежат В.

Определение. Будем говорить, что f есть отображение множества X на множество Y, если f (X) = Y; такое отображение называют сюръекцией. В общем случае, т.е. когда f (X) Ì Y, говорят, что f есть отображение в Y. Если для любых двух различных элементов х ₁ и х ₂ из X их образы y ₁ = f (x ₁) и y ₂ = f (x ₂) также различны, то f называется инъекцией. Отображение f: X®Y, которое одновременно является сюръекцией и инъекцией, называется взаимно однозначным соответствием междуX и Y.