Решение

Класс

Решение олимпиадных заданий

1. Решите неравенство: (х² + 3х + 12)(х² + 3х-10) < -120.

Решение.

a) Пусть х² + 3х=t, тогда неравенство примет вид:

(t + 12)(t - 10) < -120

t²+2t -120 < -120

t²+2t < 0

(t + 2)t < 0, -2 < t < 0.

б) -3 < x<-2, -1 < x < 0.

Ответ: 3 < x<-2, -1 < x < 0. 2.

2. При каком значении параметра m сумма квадратов корней уравнения х² + (2 – m)х –m – 3 =0 наименьшая?

Решение.

х² + (2 – m)х –m – 3 =0. По теореме Виета х₁ + х₂= m -2, х₁ · х₂ =-m – 3.

х₁² + х₂²= (х₁ + х₂)² - 2 х₁ х₂= (m -2)² – 2(-m – 3)=m²- 2m + 10.

Рассмотрим функцию f(m) = m²- 2m + 10.

Функция принимает наименьшее значение при m =1.

Ответ: m = 1.

3. Вычислите сумму 1² – 2² + 3² – 4² +…+(-1)ⁿ⁺¹n².

Решение.

1² – 2² + 3² – 4² +…+(-1)ⁿ⁺¹n²

а)Если n – четное, то есть n = 2m. Тогда сумма примет вид: 1² – 2² + 3² – 4² +…- (2m)²= (1 – 2)(1 + 2)+…(2m-1 – 2m)(2m – 1 + 2m)=- (1 + 2+ 3 + 4+…+2m-1 + 2m)= .

б) Если n – нечетное, то есть n = 2m+1. Тогда сумма примет вид: 1² – 2² + 3² – 4² +…+ (2m-1)²- (2m)²+ (2m + 1)²= (1 – 2)(1 + 2)+…(2m-1 – 2m)(2m – 1 + 2m)+ + (2m + 1)²=- (1 + 2+ 3 + 4+…+2m-1 + 2m) + (2m + 1)²= = .

Таким образом, 1² – 2² + 3² – 4² +…+(-1)ⁿ⁺¹n²= или .

Ответ: .

4. Решить уравнение в простых числах

Решение. =1 Пусть х=2n+1

Это четное число, а простое четное 2, значит y=2, х=3

Ответ: х=3, у=2

5. В треугольнике АВС площадью 90 биссектриса АD делит сторону ВС на отрезки BD и CD, причем BD:CD=2:3. Отрезок BL пересекает биссектрису AD в точке Е и делит сторону АС на отрезки AL и СL такие что, AL:CL=1:2. Найти площадь четырехугольника EDCL.