Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются более общей формулой, так называемой интерполяционной формулой Лагранжа.
Пусть на отрезке даны n+1 различных значений аргумента: , и известны значения для функции . Нам нужно построить многочлен .
Решим сначала частную задачу, построив полином такой, что .
Т.к. искомый полином обращается в нуль в n точках , то он имеет вид:
, (5.1)
где - постоянный коэффициент. Полагая в формуле и учитывая, что , получим:
.
Отсюда .
Вернемся к выражению (5.1):
.
Тогда полином Лагранжа имеет следующий вид:
.
Докажем единственность полинома Лагранжа.
Предположим противное. Пусть - полином, отличный от , степень его не выше n и . Тогда полином , степень которого, очевидно, не выше n, обращается в нуль в n+1 точках , т.е. . Следовательно, .
При равноотстоящих точках таблицы xi многочлен Лагранжа совпадает с многочленом Ньютона такой же степени.