Пусть задана система из линейных уравнений с неизвестными :
, (3.1)
где числа (, ) называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами.
Решением системы (3.1) называется такой набор чисел , что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений обращается в тождество. Если система (3.1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной; система не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. Две системы линейных уравнений с одинаковым числом неизвестных называются эквивалентными, если множества всех решений этих систем совпадают. Если , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной. Систему (3.1) можно записать в матричной форме: , где
- матрица системы,
- столбец (или вектор-столбец) неизвестных,
- столбец свободных членов.
Матрица называется расширенной
|
|
матрицей системы.
Рангом матрицы (используют обозначения: , ) называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
Базисным минором называется любой из отличных от нуля миноров матрицы , порядок которого равен .
Э лементарными преобразованиями матриц являются:
· перестановка местами двух параллельных строк (столбцов) матрицы;
· умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;
· прибавление ко всем элементам строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (другого столбца), умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
Метод элементарных преобразований при нахождении ранга матрицы заключается в том, что матрицу приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. При исследовании систем линейных уравнений возможны три варианта:
1. Если , то система несовместная.
2. Если (где - число неизвестных), то система совместная и определенная.
3. Если , то система совместная и неопределенная.
Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений, как правило, используют метод Гаусса, формулы Крамера и понятие обратной матрицы.
Задача 3.1. Найти ранг матрицы: .
Решение. 1) Найдем ранг матрицы методом элементарных преобразований, приведя ее к ступенчатому виду. Умножая элементы первой строки матрицы на и прибавляя полученный результат ко второй и третьей строкам, получим:
˜ .
Умножим вторую строку на 3 и прибавим к третьей строке:
˜ .
Полученная ступенчатая матрица содержит две ненулевые строки, поэтому ее ранг равен 2. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 2.
|
|
2) Найдем ранг исходной матрицы методом окаймляющих миноров. Так как матрица содержит ненулевые элементы, то . Выделим какой-либо ненулевой минор 2-го порядка (если он существует). Таким минором является, например, . Следовательно, . Так как миноры 3-го порядка, окаймляющие ,
и ,
то, . Получаем, что .
Задача 3.2. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решения:
Решение. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Умножая первую строку матрицы на и прибавляя ко второй строке, получим:
˜ .
Ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы: , следовательно, система совместна. Поскольку число неизвестных , значит, то система имеет единственное решение.
Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: Из второго уравнения ; подставляя данное значение в первое уравнение, получим . Итак, общее решение (оно же единственное частное): .
Задача 3.3. Исследовать систему линейных уравнений; если она совместна, то найти ее общее и одно частное решения:
Решение. Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы.
Умножая элементы первой строки матрицы на и и прибавляя полученные результаты, соответственно, ко второй и третьей строкам, получим:
˜ .
Вторую строку преобразованной матрицы умножим на и прибавим к третьей строке:
˜ .
Так как , то система совместна и неопределенна (т.е. имеет бесконечное множество решений). Количество базисных переменных равно , количество свободных переменных равно . Выбираем любой не равный нулю минор 2-го порядка преобразованной матрицы , например, минор . Переменные и , входящие в него, являются базисными, а - свободная переменная. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:
или же
Подставляя выражение для в первое уравнение последней системы, имеем . Обозначая свободную переменную через , получим общее решение системы: . Частное решение системы легко получить, например, при : .
Задача 3.4. Решить систему уравнений по формулам Крамера и с использованием обратной матрицы:
Решение. 1. Решим систему по формулам Крамера: где - определитель, полученный из (определителя матрицы ) заменой -го столбца столбцом из свободных членов. Запишем определитель матрицы системы: . Так как , то решение системы существует и единственно. Найдем определители , , , подставляя столбец свободных членов вместо первого, второго и третьего столбцов определителя соответственно:
,
,
.
Следовательно, решение системы уравнений:
, , .
2. Решим систему с использованием обратной матрицы. С помощью формулы
. (3.2)
Найдем матрицу , обратную к матрице системы .
Так как , то матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения всех элементов матрицы :
; ; ; | ; ; ; | ; ; . |
Запишем присоединенную матрицу .
Найдем матрицу :
.
Сделаем проверку точности вычислений:
= .
Теперь решение системы уравнений определяется соотношением:
.