Определители. Основные понятия. Свойства определителей

Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие выражение, которое называется определителем (детерминантом) матрицы , и обозначается символом: или (det ).

Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством

. (2.1)

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

. (2.2)

Для вычисления определителей третьего порядка по формуле (2.2) применяют символическую схему Саррюса (правило «треугольников»):

= — .

Минором элемента определителя порядка называется определитель порядка , полученный из вычеркиванием -ой строки и

-ого столбца, в пересечении которых стоит элемент .

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма - четное число, и со знаком «-», если эта сумма нечетная:

. (2.3)

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

(2.4)

(разложение по элементам -ой строки, ).

Аналогично, разложение определителя по элементам -го столбца имеет вид:

. (2.5)

Простейшие свойства определителей:

1. При транспонировании определителя его значение не изменяется.

2. При перестановке двух любых строк (или столбцов) определитель меняет свой знак.

3. Если две строки (или два столбца) определителя одинаковы, то он равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы какой-нибудь строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на число .