Обработка результатов наблюдений, содержащих случайные погрешности

Повторив несколько раз измерения, получим ряд значений x₁, x₂,..... x_n, измеряемой величины.

Стремясь приблизиться к истинному значению измеренной величины, вычисляют среднеариф­метическое значение: ,

где - среднеарифметическое значение x i или оценка математического ожидания m_x; N - число измерений. Между и истинным значением Q существует неизвестная разность. Поэтому, кроме желательно знать интервал, в который попадает Q. Его можно определять с заданной доверительной вероятностью: обычно 95 % или 99 %. В технике принята 95 %, P = 0,95.

Примечание: На практике число результатов многократных измерений невелико (от 4 до 30). В этом случае при стат. обработке используют закон распределения Стьюдента. Он описывает плотность распределения вероятности среднего арифметического, вычисленного из N случайных отсчетов нормально распределенной генеральной совокупности. Распреде­ления Стьюдента зависит от числа N и представляет семейство кривых. Численные значения tq приведены в таблице.

Расчет доверительного интервала для математи­ческого ожидания производится по формуле

,

где m_x - математическое ожидание величины Q;

S_x - оценка среднеквадратического отклонения x ,

где - оценка дисперсии s случайной величины x

tq - критерий Стьюдента, который берут из таблиц, исходя из числа степеней свободы f и значения q.

Здесь f = N-1 (или f = N), а q - уровень значимости для заданной доверительной вероятности P.

Например, если P=0.95, то наше истинное значение Q попадет в найденный интервал с вероятностью 95 %. Уровень значимости при этом будет равен q = 1- P = 0.05.

Доверительные границы погрешности – наибольшее и наименьшее значение погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение погрешности.