Понятие оценки параметров

Проблемы статистических выводов традиционно делятся на проблемы оценивания и проверку гипотез. Главное различие между этими двумя проблемами состоит в том, что при оценивании мы должны определить величину параметра или нескольких параметров. В то время как при проверке гипотез мы должны решить: принять или отвергнуть специфическую величину (или ряд специфических величин) параметра или нескольких параметров.

В общем виде задача оценки параметров формулируется следующим образом.

Пусть распределение признака Х - генеральной совокупности - задается функцией вероятности f (x_i, θ) = P (X = x_i) для дискретной случайной величины или плотностью вероятностей f (x, θ) для непрерывной случайной величины, которая содержит неизвестный параметр θ.

Для вычисления параметра θ используют выборку x ₁, x ₂,..., x_n, каждая из которых имеет один и тот же закон распределения, что и признак Х.

Оценкой θ _n параметра θ называют всякую функцию результатов наблюдений (иначе - статистику), с помощью которой делают вывод о значении параметра θ:

θ _n = θ _n (x ₁, x ₂,..., x_n).

Так как x ₁, x ₂,..., x_n - случайные величины, то и оценка θ _n является случайной величиной, которая зависит от закона распределения и объема выборки n. Оцениваемый параметр θ является постоянной величиной.

Всегда существует множество функций от результатов наблюдений x ₁, x ₂,... x_n, которые можно предложить в качестве оценки параметра θ. Например, для математического ожидания в качестве оценки θ _n по выборке можно взять среднюю арифметическую результатов наблюдений , моду M ₀, медиану M_e и т. д.

Так как θ _n - случайная величина, то невозможно предсказать индивидуальное значение оценки в данном частном случае. Поэтому о качестве оценки следует судить не по ее индивидуальным значениям, а по распределению ее значений при достаточно большом числе испытаний, т. е. по выборочному распределению оценки.

Cвойства оценок:

1. Оценка θ _n параметра θ называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру, т. е. M (θ _n) = θ.

В противном случае оценка называется смещенной. Если это равенство не выполняется, то оценка θ _n, полученная по разным выборкам, будет либо завышать θ, если M (θ _n) > θ, либо занижать его, если M (θ _n) < θ. Таким образом, требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании.

2. Оценка θ _n параметра θ называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т. е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру

Если оценка состоятельна, то практически достоверно, что при достаточно большом n θ _n ≈ θ.

3. Несмещенная оценка θ _n параметра θ является эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема n. Так как для несмещенной оценки M (θ _n – θ)² есть дисперсия , то эффективность является решающим свойством, определяющим качество оценки.

В качестве статистических оценок параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, удовлетворяющие одновременно требованиям несмещенности, состоятельности и эффективности.

4. Оценка θ _n параметра θ является достаточной, если при заданном ее значении распределение наблюдения Х не зависит от параметра θ. Иначе, оценка θ _n обеспечивает оценку параметра без потери информации, содержащейся в выборке.

Однако на практике не всегда оценки удовлетворяют всем трем требованиям. Может оказаться, что даже если эффективная оценка существует, то формулы для ее вычисления оказываются слишком сложными, и тогда используют оценку, дисперсия которой несколько больше. Иногда, в интересах простоты расчетов, применяются незначительно смещенные оценки. Выбору оценки всегда должно предшествовать ее критическое рассмотрение.

Свойства оценок.

Параметр (генеральная характеристика)	Оценка (выборочная характеристика)	Свойства оценки
несме-щенная	состоя-тель-ная	эффек-тивная	доста-точная
Средняя			Да	Да	Да	Да
Дисперсия		- исправленная выборочная дисперсия	Нет   Да	Да   Да	Нет   Да	Да   Да
Доля			Да	Да	Да	Да
Мода	М0(Х)		Да	Да	Нет	Нет
Медиана	Ме(Х)		Да	Да	Нет	Нет