Лабораторна робота № 3

Розв’язання нелінійного рівняння

Теоретичні відомості

Будь-яке рівняння з одним невідомим може бути зображено у вигляді:

f (x)=0. (3.1)

Постановка задачі. Знайти корені рівняння (1), тобто такі значення х, які обертають рівняння в тотожність. Задача пошуку коренів зводиться до знаходження всіх точок перетину графіка функції f (x) з віссю x.

Якщо в запис рівняння входять тільки алгебраїчні функції, то рівняння називається алгебраїчним і може бути приведено до вигляду:

Всі неалгебраїчні функції: показова , логарифмічна log_a x, тригонометричні sin x, cos x, tg x, ctg x і зворотні тригонометричні arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x – називаються трансцендентними.

Якщо в запис рівняння входять трансцендентні функції, то рівняння називається трансцендентним, наприклад .

Вирішення рівняння складається з двох етапів.

1. Відділення коріння–знаходження інтервалів, кожен з яких містить один і лише один корінь рівняння.

2. Уточнення наближеного значення кореня.

Метод хорд. Процес ітерацій здійснюється відповідно до формули:

. (3.2)

У цій формулі X – та з граничних точок відрізку, в якій виконана умова:

. (3.3)

Як початкове наближення вибирається протилежна гранична точка відрізку.

Умова завершення ітерацій:

Метод Ньютона (метод дотичних). Процес ітерацій виконується за формулою:

. (3.4)

Як початкове наближення повинна бути вибрана гранична точка відрізку, в якій виконується умова (3.3).

Умова зупинки процесу ітерацій в методі Ньютона:

Метод ітерацій. Початкове рівняння переписується в еквівалентному вигляді . Ітераційний процес описується формулою:

. (3.5)

Ітераційний процес збігається незалежно від початкового значення , тобто має границю, що є коренем рівняння, якщо виконується умова:

. (3.6)

Для методу ітерацій справедлива наступна оцінка погрішності знайденого значення кореня:

. (3.7)

Умова (3.7) означає, що , коли , ε – задана точність. Можна прийняти .

Приклад 3.1. Розв’язати рівняння методом ітерацій з точністю .

x
–3	–25
–2	–7
–1	–1
	–1
	–1

Так як і , то корінь міститься в інтервалі .

Перепишемо рівняння у вигляді . Тоді:

, .

Отже, умову (3.6) збіжності ітерацій не виконано.

Оберемо функцію .

Тоді , , .

Приймемо .

Отже, умова збіжності (3.6) виконана.

Умова завершення ітерацій має вигляд:

Початкове наближення .

Таким чином, корінь рівняння дорівнює , а задана точність досягнута за k=4 ітерації.

Для розв’язання рівнянь в Mathcad призначені наступні функції:

– root (f (z), z) повертає значення z, при якому функція f(z) приймає значення, рівне нулю. Перед використанням цієї функції необхідно задати початкове наближення для z;

– polyroots(v) повертає всі корені полінома, як дійсні, так і комплексні;

– v –вектор, що містить коефіцієнти полінома, при чому перший елемент є вільним членом рівняння.

Примітка. 1. Якщо рівняння має декілька коренів, результат функції root залежить від початкового наближення. 2. Початкове наближення можна обрати за допомогою графіку функції.

Завдання

1. Локалізувати корені рівняння графічним методом.

2. Розв’язати нелінійне рівняння методом ітерацій в Mathcad. Обґрунтувати збіжність процесу обчислень.

3. Розв’язати нелінійне рівняння методом Ньютона в Mathcad.

4. Розв’язати нелінійне рівняння за допомогою вбудованої функції root.

5. Розв’язати нелінійне рівняння за допомогою вбудованої функції polyroots.

Порядок виконання

Визначення лівої частини рівняння та побудова графіка функції:

З графіка видно, що крива перетинає вісь x на інтервалі [1, 2]. Отже, корінь рівняння f (x)=0 знаходиться на інтервалі [1, 2].

Примітка: Щоб відобразити лінії сітки, необхідно клацнути на графіку правою кнопкою миші та обрати з контекстного меню пункт Format, на закладці Axes поставити галочку напроти пункту Grid lines, натиснути кнопку ОК.

Метод ітерацій