Лабораторна робота № 4

Розв’язання систем нелінійних рівнянь

Теоретичні відомості

Дана система нелінійних рівнянь

.

Необхідно знайти корені системи з заданою точністю ε.

Перепишемо систему в матричній формі:

,

де – вектор-функція лівих частин рівнянь;

– вектор невідомих.

Відомі наближенні значення коренів , . Наступні наближення можна знайти за формулами:

, , (4.1)

де k – номер ітерації.

Поправка знаходиться з системи лінійних рівнянь:

,

де

– матриця Якобі.

Обчислення за формулами (4.1) завершують, коли різниця двох послідовних наближень за модулем стане меншою або рівною заданій точності.

Приклад 4.1. Дана система .

Виконати перші дві ітерації метода Ньютона. Початкове наближення: =1, = –2.

, ;

;

;

.

Розв’яжемо систему методом Крамера:

;

;

;

, ;

;

.

Розрахунки на другому кроці:

;

;

;

;

;

, ;

;

.

Завдання

1. Локалізувати корні системи рівнянь графічним методом.

2. Скласти програму-функцію, що обчислює корінь системи двох нелінійних рівнянь за методом Ньютона з точністю ε. Передбачити підрахунок кількості ітерацій. Для вирішення відповідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовувати вбудовану функцію lsolve. Використовуючи складену програму, обчислити корені заданої системи з точністю ε.

3. Використовуючи блок Given… Find, знайти всі корені системи. Порівняти з результатами, отриманими в п. 2.

Порядок виконання

Набрати рівняння (знак рівності набирається за допомогою комбінації клавіш [ CTRL] та [ = ]).

Розв’язати обидва рівняння відносно змінної x1. Для цього необхідно клацнути в кінці рівняння, далі клацнути solve на панелі Symbolycs і набрати після коми ім’я змінної x1:

Щоб не вводити з клавіатури, отримані вирази можна скопіювати (Ctrl+C) та вставити (Ctrl+V).

Перше рівняння, розв’язане відносно x1:

Друге рівняння, розв’язане відносно x1:

Побудувати графік двох отриманих рівнянь:

Точка перетину кривих є розв’язком системи.

Розв’язання методом Ньютона

Рівняння системи:

Матриця Якобі:

Початкове наближення, визначене за допомогою графіка:

Визначення функції, що реалізує метод Ньютона:

Вивід результату

Розв’язання за допомогою блоку Given…Find

Контрольні питання

1. Методи розв’язання систем нелінійних рівнянь.

2. Суть методу Ньютона для розв’язання систем нелінійних рівнянь.

3. Як складається матриця Якобі?

4. Структура блоку розв’язку.

5. Який знак рівності використовується в блоці розв’язку? Як його надрукувати?

6. Як локалізувати корінь системи двох рівнянь графічним методом?

Варіанти завдань

№	Система рівнянь	№	Система рівнянь