Требования к оформлению работы

Формат: А4. WORD 2003: кейгль 14, «times new roman», поля: левое-30 мм, правое-10 мм, верх и низ-20 мм. Межстрочный интервал: полуторный. Формулы: Equation или Math Type Графика: любой редактор, импортируемый в WORD.

Объём: без ограничений.

Срок представления РГР

РГР должна быть сдана до 30 октября (29 октября последний день)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Коломенский институт (филиал) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ(МАМИ)»

В г. Коломне Московской области

_______________________________________________________________________

КАФЕДРА СТРОИТЕЛЬНОГО ПРОИЗВОДСТВА

РГР

Название темы

Автор: студент группы

№ группы

Фамилия И.О.

№ зачетной книжки

Рецензент: доцент(профессор)

Фамилия И.О.

Дата представления

Коломна-2015

Расчетно-графическая работа №1

«Векторная алгебра»

«Аналитическая геометрия»

состав расчетно-графической работы № 1 входят восемь задач по темам, изучаемым в первой половине 1 семестра: исследование уравнения кривой, различные уравнения прямой на плоскости, различные уравнения плоскости, взаимное расположение прямой и плоскости, поверхности второго порядка.

Вариант 1

1. Упростить уравнение и построить кривую.

2. Даны 3 вектора: Найти:

3. Найти , если его вершины А(4,2,5), В(0,7,2), С(0,2,7).

4. Дана прямая x + 2y – 4 = 0 и т. А(5,7). Найти проекцию т.А на прямую.

5. Вычислить угол между прямыми:

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (2,-3,1) и через прямую

7. Установить, что 3 плоскости имеют общую точку и вычислить ее координаты с помощью матричного исчисления, методом Гаусса и по формуле Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

Вариант 2

1. Упростить уравнение и построить кривую:

2. Даны 3 вектора:

Найти:

3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и из задачи 2.

4. Даны стороны параллелограмма y = x – 2, 5y = x + 6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения 2-х других сторон.

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1,2,3) пересекающей ось OZ и перпендикулярной к прямой x = y = z

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые:

7. Найти точку пересечения плоскостей с помощью матричного исчисления. , а также методом Гаусса по формулам Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

z = 4 – x², x² + y² = 4, z = 0

Вариант 3

1. Упростить уравнение и построить кривую:

2. Даны 3 вектора:

Найти:

3. Обьем тетраэдра V=5, три его вершины А (2,1,-1), Б(3,0,1),

С(2,-1,3). Найти 4-ую вершину, если известно, что она лежит на оси ОУ.

4. Даны стороны параллелограмма y = x – 2, 5y = x + 6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения его диагоналей.

5. Найти плоскость, проходящую через т. С(2,-1,1) перпендикулярно к линии пересечения 2 плоскостей:

3x – y – z + 1 = 0, x – y + 2z + 1 = 0

6. Провести уравнения прямой к каноническому виду.

7. Найти точку пересечения 3 плоскостей с помощью матричного исчисления: , а также методом Гаусса и по формулам Крамера.

8. Построить тело ограниченное поверхностями:

z = (x – 1)², y² = x, z = 0

Вариант 4

1. Упростить уравнение и построить кривую.

x²+ y² + 2x – 4y = 0

2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору и угол между векторами и

3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

4. Составить уравнения сторон квадрата, зная одну из его вершин А(3,-4) и уравнения 2-х сторон 7x – 2y – 1=0, 2x + 7y – 6 =0

5. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М(2,-3,4) и перпендикулярной к прямым:

6. Через точку пересечения прямой и плоскости

x + 3y – 5z – 2 = 0 провести плоскость параллельно к данной плоскости.

7. Найти точку пересечения 3 плоскостей с помощью матричного исчисления. , а также методом Гаусса и по формуле Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

z = x², 2x + 3y = 6, x = 0, z = 0

Вариант 5

1. Упростить уравнение и построить кривую:

16x² + 4y² – 5x + 7y = 0

2. Даны 2 вектора: и Найти вектор , перпендикулярный к векторам и равный по длине единице и образующей с и правую тройку.

3. Найти V параллелепипеда, построенного на векторах

4. Составить уравнения сторон ∆АВС, если т. А(0,2) и уравнения высот ВМ: x + y = 4, CM: y = 2x, где т. М- пересечение высот.

5. Найти точку, симметричную т. А(2,1,0) относительно плоскости x – 2z + 1 = 0

6. Показать, что прямая перпендикулярна к прямой

7. Найти точку пересечения 3 плоскостей с помощью матричного исчисления: , а также по формулам Крамера и методам Гаусса.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

4z = y², 2x – y = 0, x + y =9, z = 0

Вариант 6

1. Упростить уравнение и построить кривую:

7x² – 14x + 24y + 5 = 0

2. Найти вектор , удовлетворяющий одновременно трем уравнениям: , где

3. Найти Ѕ параллелограмма, построенного на векторах

4. Найти точку, симметричную т. М(0,-3) относительно прямой

y + x + ½ = 0

5. Найти расстояние точки М(2,-1,3) до прямой

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые:

7. Найти точку пересечения 3 плоскостей с помощью матричного исчисления: , а также по методам Гаусса и по формулам Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

y² = 4x, x² = 4y, x + z = 2, z = 0

Вариант 7

1. Упростить уравнение и построить кривую:

3x² + 3y² – 12x – 12y + 4 = 0

2. Даны вершины треугольника: А(1,-1,2), В(1,3,-1), С(1,3,-1). Найти косинус угла АДС между медианой АД и стороной ВС и вычислить площадь АДС (с помощью векторной алгебры).

3. Вычислить пр ( если ; ;

4. Дана прямая 2x + y – 6= 0 и на ней две т. А и В с ординатами y_A=6, y_B_=-2. Найти длину высоты АД ∆АОВ, где О- начало координат.

5. Найти координаты углов между прямыми:

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0,-5,0), (0,0,2) и перпендикулярной к плоскости x + 5y +2z – 10 = 0

7. Исследовать и решить с помощью матричного исчисления систему уравнений: , а также методом Гаусса и по формуле Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

x²+ z² – y²=0, y = + - 5

Вариант 8

1. Упростить уравнение и построить кривую:

x² + y² – 4x – 4y + 3 = 0

2. Даны 3 вектора: , ,

Вычислить V параллелепипеда, построенного на этих векторах.

3. Найти пр ( ( из задания 2)

4. Даны уравнения 2-х высот ∆ x + y = 4, y = 2x и одна из его вершин А(0,2). Составить уравнение сторон ∆.

5. Найти проекцию точки (1,2,3) на плоскость 5x – y + 3z – 4 = 0

6. Найти расстояние от т. М₀(2,-10,8) до плоскости, проходящей через точки М₁(2,-4,-3); М₂(5,-6,0); М₃(-1,3,-3).

7. Исследовать и решить систему уравнений с помощью матричного исчисления: , а также методом Гаусса и по формуле Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

x+ y = 9, 2x = y, z = x², z = 0

Вариант 9

1. Упростить уравнение и построить кривую:

5x² + 12xy – 22x – 12y – 19 = 0

2. Вычислить площадь треугольника с помощью векторной алгебры, если вершины треугольника А(7,3,4.); В(1,0,6); С(4,5,-2).

3. Доказать, что векторы ; ; образуют базис.

4. Точки А(5,1); В(2,-3); С(-1,7) являются вершинами треугольника. Составить уравнение медианы СД.

5. Доказать, что прямые и пересекаются, найти точку их пересечения.

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (-1,-1,2) и перпендикулярной к плоскости x – 2y + z – 4 = 0; x + 2y– 2z + 4=0

7. Найти точку пересечения 3 плоскостей с помощью матричного исчисления: , а также методом Гаусса и по формуле Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

z = x² + 3y², x + y= 1, x = 0, y = 0, z = 0

Вариант 10

1. Упростить уравнение и построить кривую:

225x² + 25y² + 64x – 64y – 227 = 0

2. Даны векторы ; . Вычислить площадь треугольника, построенного на векторе

3. Найти пр ,где смотри в задании 2.

4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых x + 8y – 26 = 0, 4x + 7y + 29 = 0 параллельно вектору

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки (0,-5,0) и (0,0,2) и перпендикулярно плоскости x + 5y + 2z – 10 = 0.

6. Найти угол между прямыми:

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

z²=1 – y, y = x², z ≥ 0

Вариант 11.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

3y² + 16x + 12y – 36 = 0

2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах:

, , где -единственные векторы, образующие угол π/6

3. Найти площадь ∆АВС, где А(4,2,5); В(0,7,2); С(0,2,7).

4. Составить уравнение линии, все точки которой равноудалены от 2-х точек А(-2,1); В(1,-3)

5. Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки

(1,0,-1) на прямую

6. Найти площадь, проходящую через точку (2,2,2) и параллельную плоскости x – 2y – 3z = 0.

7. Исследовать и решить систему 3 уравнений с тремя неизвестными: с помощью матричного исчисления, методом Гаусса и по формуле Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

x²= 2 – y, y = z², x ≥ 2

Вариант 12

1. Упростить уравнение и построить кривую:

9x² – 24xy + 16y² – 20x + 110y – 50 = 0

2. Вычислить объем пирамиды с вершинами: О(0,0,0,); В(2,5,0); А(5,2,0); С(1,2,4).

3. Найти площадь грани АВС.

4. Определить траекторию т. М(x,y), которая при своем движении все время остается вдвое ближе к т. А(1,0), чем к т. В(4,0)

5. Показать, что прямая параллельна плоскости

2x + y – z = 0, а прямая лежит в плоскости.

6. Найти расстояние между плоскостями:

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

x= z² + 5y², z+ x = 2, x = 0, y = 0, z = 0

Вариант 13

1. Упростить уравнение и построить кривую:

14x² + 21y² – 4x + 18y – 139 = 0

2. Показать, что

3. Разложить вектор по базису , ,

4. Даны 2 вершины А(-3,3) и В(5,-1) и точка D(4,3) пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

5. Найти расстояние точки М(3,0,4) от прямой:

6. Найти угол между прямыми:

7. Найти точки пересечения 2 плоскостей с помощью матричного исчисления: , а также методом Гаусса и по формуле Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

x² + z² = 4, x + y + z = 2, y = 1

Вариант 14.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

6xy + 8y² – 12x – 26y + 11 = 0

2. Показать, что:

3. Вычислить диагональ и площадь параллелограмма, построенного на векторах ,

4. Уравнение 2 сторон параллелограмма x + 2y + 2 = 0 и x + y = 0, а уравнение одной из его диагоналей x – 2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через точку (2,-3,4) перпендикулярной оси OZ.

6. Найти точку пересечения прямой: с помощью

x + 2y + 3z – 29 = 0

7. Найти точку пересечения 3 плоскостей с помощью матричного исследования: , а также методом Гаусса и по формуле Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

x + z = 5, 2x = z, y = x², y = 1

Вариант 15.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

x² – 4xy + 4y² + 4x – 3y – 7 = 0

2. Даны точки А(-2,3,-4); В(3,2,5); С(1,-1,2); Д(3,2,-4). Вычислить пр .

3. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах

_{; ;}

4. Даны уравнения одной из сторон ромба x – 3y + 10 = 0 и одной из его диагоналей x + 4y – 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке (0,1). Найти уравнения остальных сторон ромба.

5. Найти проекцию точки А(1,2,8) на прямую:

6. Найти уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей: 2x – y + 3z - 6 = 0; x + 2y –z + 3 = 0

и через точку А(1,2,4)

8. Построить тело, ограниченное плоскостями:

z² = 4x, x² = 4z, x + y = 2, y = 0

Вариант 16.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

2x² + 5xy + 2y² – 6x – 3y – 8 = 0

2. Даны три вектора: ; ;

Вычислить пр

3. Вычислить (см. векторы из задачи 2)

4. Даны векторы А(-3,-2); В(4,-1); С(1,3) трапеции АВСД (АД параллельно ВС). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершин Д этой точки.

5. Написать уравнения прямой, проходящей через точку А(0,-4,0) и параллельной вектору

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

параллельной прямой

7. Найти точку пересечения трех плоскостей с помощью матричного исчисления: , а также методом Гаусса и по формуле Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

4x = y², 2z – y = 0, z + y = 9, x = 0

Вариант 17.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

9x² + 24xy + 16y² – 230x + 110y – 475 = 0

2. Даны две точки М(-5,7,-6), Н(7,-9,9). Вычислить проекцию вектора на ось вектора

3. Найти координаты вектора в базисе ;

;

4. Даны уравнения двух сторон треугольника 5x – 4y + 15 = 0 и

4x + y – 9 =0. Его медианы пересекаются в точке (0,2). Составить уравнение третьей стороны треугольника.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через т. А₄(4,7,8) перпендикулярной плоскости, проходящей через т. А₁(3,5,4); А₂(8,7,4); А₃(5,10,4)

6. Найти расстояние от т. А(4,3,0) до плоскости 3x + 4y – z + 6 =0

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

y = x², z = 2, y + 3x = 8, z = 0, y = 0

Вариант 18.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

2x² + 4xy + 5y² – 6x – 8y – 1 = 0

2. Даны векторы: ; . Найти координаты векторного произведения

3. Показать, что векторы ; ; образует базис.

4. Даны две вершины А(2,-2) и В(3,-1) и точка Р(1,0) пересечения медиан ∆АВС. Составить уравнение высоты ∆, проведенной через третью вершину С.

5. Найти угол между прямыми:

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через т. М(-1,-1,2) и перпендикулярной к плоскости:

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

z = (y – 2)², x² = y, z = 1

Вариант 19.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

5x² + 5y² – 16x – 16y – 16 = 0

2. Вычислить синус угла, образованного векторами:

3. Установить, лежат ли точки А(2,-1,2); В(1,2,1); С(2,3,0);

Д(5,0,-6) в одной плоскости.

4. Даны уравнения двух высот ∆ x + y = 4 и y = 2x и одна из его вершин А(0,2). Составить уравнения сторон треугольника.

5. Найти расстояние от точки М(9,6,4) до прямой:

6. Составить уравнение плоскости, отстоящей от начала координат на расстояние 29 и перпендикулярной к прямой, по которой пересекаются плоскости:

7. Исследовать и решить систему трех уравнений с тремя неизвестными с помощью матричного исчисления, методом Гаусса и по формулам Крамера:

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

Y = 4 – x², x² + z² = 4, y = 0

Вариант 20.

1. Упростить уравнение и построить прямую:

9x² + 16y² – 40x + 30y = 0

2. Даны векторы: ; ; . Вычислить

3. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

и , где и угол между и равен 30⁰

4. Даны уравнения двух медиан треугольника x – 2y + 1 = 0 и

y – 1 = 0 и одна из его вершин (1,3). Составить уравнения его сторон.

5. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярной прямой

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

параллельно прямой

7. Исследовать и решить систему трех уравнений с помощью матричного исчисления: , а также методом Гаусса и по формулам Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

z = 0, z = 2x, x + y = 3, x =

Вариант 21.

1. Упростить уравнение и построить прямую:

3x² + 3y² – 4x – 4y – 12 = 0

2. Даны вершины тетраэдра А(2,1,3); В(-2,1,4); С(6,3,8); Д(-8,4,5). Найти длину его высоты, опущенной из вершины Д.

3. Разложить вектор по базису ; ;

4. Две стороны треугольника заданы уравнениями 5x - 2y – 8 = 0,

3x - 2y – 8 = 0, а середина третьей стороны совпадает с началом координат. Составить уравнение этой стороны.

5. Найти расстояние от точки (3,4,2) до прямой

6. Составить уравнение биссекторных плоскостей углов между 2 плоскостями: 7x + y – 6 = 0; 3x + 5y – 4 + 1 = 0

7. Исследовать и решить систему трех уравнений с помощью матричного исчисления, а также методом Гаусса и по формуле Крамера:

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

x² + y² = z², x + y + z = 2, z = 0

Вариант 22

1. Упростить уравнение и построить кривую:

x² + y² – 4x – 4y + 12 = 0

2. Объем тетраэдра V=5, три его вершины находятся в точках А(2,1,-1); В(3,0,1); С(2,-1,3). Найти координаты четвертой вершины Д, если известно, что она лежит на оси OZ.

3. Найти пр , если ; .

4. Уравнение одной из сторон квадрата x + 3y – 5 = 0. Составить уравнение трех остальных сторон квадрата (-1,0) – точка пересечения его диагоналей.

5. Найти точку А₁ симметричную точке А(3,-1,4) относительно прямой:

6. На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки (2,3,4) и от плоскости 2x + 3y + z – 17 = 0.

7. Исследовать и решить систему уравнений с помощью матричного исчисления: , а также методом Гаусса и по формулам Крамера.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

z ≥ 0, x + y + z = 4

Вариант 23.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

x² + 2xy + y² + 4x + 4y + 3 = 0

2. Установить, лежат ли векторы в одной плоскости если:

; ;

3. Найти пр , если

4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(-4,2) и уравнения 2-х медиан: 3x-2y+2=0 и 3x+5y-12=0.

5. Написать уравнение прямой, проходящей через т. А(2,-1,0) параллельной прямой

6. Найти расстояние точки (4,3,0) от плоскости, проходящей через М₁(1,3,0); М₂(4,-1,2) и М₃(3,0,1)

7. Исследовать и решить систему уравнений с помощью матричного исчисления, а также по формулам Крамера и методом Гаусса:

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

x + y + z = 5

Вариант 24.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

x² + 4y² – 2x + 4y + 4 = 0

2. Доказать тождество:

3. Найти площадь треугольника, вершин которого А(3,0,1); В(4,5,6); С(-2,4,5)

4. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(-3,4) и уравнения 2-х вершин: x-2y-1=0; 2x-7y-6=0

5. Найти точки пересечения с плоскости координат прямой:

x= 6 + 2t, y = -2 – 4t, z = -5t

6. Написать уравнения плоскости, параллельной плоскости

3x-2y+2z+5=0 и удаленных от нее на 3 единицы.

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

z = -1, x + y + z = 1

Вариант 25.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

x + 4y² + 3x + 6y + 2 = 0

2. Вектор перпендикулярен к векторам и , угол между и равен π/3. Зная, что , , ; вычислить

3. Найти пр , если

4. Даны 2 вершины ∆ А(2,-2) и В(5,1), уравнение сторон ВС:

x+ 2y – 7 = 0 и медиан АМ: 5x – y – 13 = 0. Составить уравнение высоты С на сторону АВ и вычислить ее длину.

5. Установить, лежат ли точки А(5,8,15); В(5,7,1) на прямой:

x = 1 + 2t, y = 2 + 3t, z = 3 + 6t

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2x – y + 3z – 6 =0; x + 2y – z + 3 = 0 и через точку (1,2,4).

7. Исследовать и решить систему уравнений с помощью матричного исчисления, а также методом Гаусса и по формулам Крамера:

8. Построить тело, ограниченное поверхностями:

3y + 2z = 6

Вариант 26.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0

2. Доказать, что 4 точки лежат в одной плоскости: А(1,2,-1), В(0,1,5), С(-1,2,1), Д(2,1,3).

3. Найти пр .

4. В ∆ АВС известны: сторона АВ: 4x + y – 12 = 0,

высоты ВН: 5x-4y-15=0, АН: 2x+2y-9=0. Написать уравнения 2-х сторон и третьей высоты.

5. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку

А(1,-5,3) и образует с осями координат углы, соответственно равные:

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2,-1,1) и перпендикулярной к плоскости 3x + 2y – z + 4 =9, x + y + z + 3 = 0

8. Построить тело, ограниченно поверхностями:

x + y + z ≥0

Вариант 27.

1. Упростить уравнение и построить кривую:

x² + y² – 4x – 4y + 3 = 0

2. Даны 3 вектора: , .

Вычислить обьем параллепипеда, построенного на этих векторах.

3. Найти пр

4. Через точку пересечения прямых прямых 2x-5y-1=0 и x+4y-7=0 провести прямую, делящую отрезок между т. А(4,-3) и В(-1,2) в отношении λ= ⅔

5. Найти проекцию точки (1,2,3) на плоскость 5x – y + 3z – 4 = 0

6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку т. М₁(3,1,0); М₂(4,-1,2); М₃(3,0,1)