Основные понятия систем линейных уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(1)

Здесь a_ij – числовые коэффициенты; b_i (i =1,2,..., m) – свободные члены; x_j (j =1,2,..., n) – неизвестные.

Решением системы (1) является совокупность значений неизвестных x_j, при подстановке которых все уравнения системы (1) обращаются в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система является несовместной.

Система (1) может быть представлена в виде матричного уравнения

AX = B,

где A – матрица, составленная из коэффициентов a_ij при неизвестных; матрица B представляет собой столбец свободных членов b_i (i =1,2,..., m); элементами матрицы X являются неизвестные x_j (j =1,2,..., n).

Если B = 0, то система уравнений называется однородной:

AX = 0.

Две системы уравнений, имеющие одинаковые множества решений, называются эквивалентными.
Очевидно, что такие операции как перестановка уравнений местами, умножение обеих частей уравнения на ненулевое число или прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число, преобразуют систему уравнений в ей эквивалентную.

Система, имеющая решения, называется совместной, не имеющая - не совместной. Если решение одно - система определённая, если не одно - неопределённая.

Метод Гаусса

Системе m линейных уравнений

(1)

можно поставить в соответствие расширенную матрицу:

.

(2)

Существует взаимно-однозначное соответствие между элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над строками расширенной матрицы.

Действительно,

• Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк расширенной матрицы.
• Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению строки на это число.
• Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.

Решение системы (1) методом Гаусса представляет собой не что иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или ступенчатому виду:

,

(3)

где опущены строки, состоящие из нулевых элементов.

Матрица такого вида соответствует более простой системе уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения, затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д.

Если число неизвестных превышает число уравнений, то часть неизвестных (n-r) рассматривается в качестве свободных параметров и называются свободными переменными. Остальные r переменных выражаются через свободные и называются опорными, базовыми, определёнными, зависимыми.

Формально схема преобразований расширенной матрицы выглядит следующим образом.

1. Предположим, что матричный элемент a ₁₁ первого столбца матрицы (2) отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами первую строку этой матрицы с какой-нибудь другой.)
   Для получения нулей в первом столбце матрицы (2) достаточно прибавить ко второй строке этой матрицы первую, умноженную на (- a ₁₁/ a ₁₂), к третьей строке - первую, умноженную на (- a ₁₁/ a ₁₃) и так далее.
   В результате первый столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a ₁₁.
2. Затем воспроизводим алгоритм, изложенный на предыдущем этапе, применительно ко второму столбцу полученной матрицы.
   Предположим, что матричный элемент a ₂₂ второго столбца этой матрицы отличен от нуля. (В противном случае достаточно предварительно переставить местами соответствующую строку матрицы с какой-нибудь другой нижележащей.)
   Для получения нулей во втором столбце рассматриваемой матрицы достаточно прибавить к третьей строке матрицы вторую, умноженную на (- a ₂₂/ a ₂₃), к третьей строке - первую, умноженную на (- a ₂₂/ a ₂₄) и так далее.
   В результате второй столбец содержит единственный отличный от нуля элемент a ₂₂.
3. И так далее.
4. В конечном итоге мы получаем матhицу вида (3).

Примеры:

1. Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение. Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к треугольному виду, выполняя операции над строками: Полученная матрица описывает систему уравнений эквивалентную исходной системе. Решение находится элементарно: Убедимся в том, что полученный набор обращает каждое уравнение данной системы в тождество:

***

2. Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение. Преобразуем расширенную матрицу, производя элементарные операции над строками: Третья строка этой матрицы соответствует уравнению не имеющему решений и, следовательно, система является несовместной.

***

3. Решить систему уравнений методом Гаусса. Решение. Производя элементарные преобразования над строками, приведем расширенную матрицу к ступенчатой форме: Выпишем соответствующую систему уравнений: Последнее уравнение содержит две переменных, одну из которых нужно рассматривать в качестве свободного параметра. Назначим этому параметру произвольное значение и выразим остальные переменные через c: Таким образом, общее решение системы имеет вид Если подставить вместо c произвольное число, например нуль, то мы получим частное решение: . Подставляя c = 2, получаем другое частное решение: . Таким образом, данная система имеет бесконечное множество решений. Проверка: Подставим и в каждое уравнение системы: Уравнения обратились в тождества.