Обобщенное правило Крамера

Теорема. Необходимым и достаточным условием совместности системы m линейных уравнений с n неизвестными

(1)

является равенство между собой рангов коэффициентной A и расширенной матриц.

В русско-язычной литературе на эту теорему ссылаются как на теорему Кронекера-Капелли.

Следствия.

1. Если rank à =rank A и совпадает с числом n неизвестных, то система (1) имеет единственное решение.

Это утверждение по сути представляет собой просто другую формулировку правила Крамера

1. Если rank à =rank A>n, то система (1) имеет бесконечное множество решений.

Схема:

Равенство рангов коэффициентной и расширенной матриц означает совместность системы уравнений (1). При этом число r=rank à =rank A устанавливает количество базисных переменных, тогда как остальные (n - r) переменные играют роль свободных параметров и могут принимать любые значения. Каждому набору параметров, число которых бесконечно велико, соответствует свое решение.

Примеры:

1. Докажем необходимость условия, сформулированного в теореме, т.е. покажем, что предположение о совместности системы уравнений влечет за собой равенство рангов, .

Рассмотрим расширенную матрицу

и преобразуем ее, выполнив элементарные операции над столбцами.

Вычтем из последнего столбца первый столбец, умноженный на , второй столбец умноженный на , и т.д. При этом ранг матрицы не меняется:

С учетом уравнений (1), последний столбец является нулевым и поэтому его можно опустить. Тогда

2. Перейдем к доказательству достаточности условия.
Покажем, что равенство рангов r=rank à =rank A влечет за собой совместность системы (1).

Если r= rank A, то существует несингулярная подматрица Ã r -го порядка. Ее матричные элементы (коэффициенты при неизвестных) указывают – какие именно r уравнений "образуют базис" данной системы уравнений - в том смысле, что каждое из оставшихся уравнений является следствием "базисных" уравнений (их линейной комбинацией).
Поэтому можно перейти к укороченной системе r уравнений и выбрать r неизвестных в качестве базисных переменных. Остальные (n - r) переменные будут при этом выступать в качестве свободных параметров, которым можно придавать произвольные числовые значения.
Укороченная система r линейных уравнений полностью эквивалентна исходной системе и имеет (согласно теореме Крамера) единственное решение для любого набора значений свободных параметров.

Примеры:

1. Дана система линейных уравнений, Установить соотношения между параметрами a, b и c, при которых система является несовместной. Решение. Составим расширенную матрицу и преобразуем ее к ступенчатой форме: Если , то система является несовместной. В противном случае одна из неизвестных является свободной переменной и, следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

***

2. Система линейных уравнений задана расширенной матрицей, представленной в приведенно-ступенчатой форме: Выяснить сколько решений имеет эта система. Решение. Очевидно, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен рангу расширенной матрицы и совпадает с числом неизвестных. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение – согласно следствию из обобщенного правила Крамера.

***

3. Выяснить сколько решений имеет система линейных уравнений, заданная расширенной матрицей при различных значениях параметра a. Решение. Если , то , тогда как . В этом случае система является несовместной и не имеет решений. Если a = 0, то , что меньше числа неизвестных, количество которых равно 4. Тогда одна из неизвестных должна рассматриваться как свободный параметр, и при этом система имеет решение при любых значениях этого параметра. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.