Метод базується на другому законі Кірхгофа і законі Ома. При аналізі кола вважають, що в кожному незалежному контурі протікає свій контурний струм. Рівняння для контурних струмів складають за другим законом Кірхгофа. Кіль-кість рівнянь дорівнює кількості незалежних контурів. На Рис. 27 зображено коло із двома незалежними контурами. - струми у вітках кола, – контурні струми. Очевидно, струми у вітках, через які проходить один кон-турний струм, дорівнюють цим контурним струмам: . У вітках, через які проходять декілька контурних струмів, струми дорівнюють алгебра-їчній сумі контурних струмів: .
За другим законом Кірхгофа: Виражаємо струми у вітках через кон-турні струми: |
або:
Введемо позначення:
- власний опір першого контура, це сума опорів віток, що на-лежать першому контуру.
- власний опір другого контура, це сума опорів віток, що на-лежать другому контуру.
- спільний (взаємний) опір першого та другого контурів, це сума опорів віток, що належать одночасно першому і другому контурам.
|
|
- контурна ЕРС першого контура.
- контурна ЕРС другого контура.
Увага! ЕРС, які співпадають із вибраним напрямом контурного струму входять у контурну ЕРС зі знаком «плюс». Рекомендується контурні струми спрямовувати однаково, наприклад, за годинниковою стрілкою, тоді в рів-няннях всі взаємні опори фігурують зі знаком мінус (якщо вибрані елементарні незалежні контури у планарному колі).
У загальному вигляді рівняння, складені за методом контурних струмів, для будь-якого двоконтурного кола виглядають так:
Аналогічно записується система рівнянь для триконтурної схеми:
або у вигляді матриці:
Де:
Розв’язуючи систему рівнянь будь-яким способом, наприклад, за правилом Крамера, одержуємо контурні струми:
де: ;
Контурні струми можна виразити через контурні ЕРС і алгебраїчні допов-
нення головного визначника системи рівнянь:
або:
де: – головний визначник системи, – алгебраїчні доповнення.У загальному вигляді для n – контурного кола -
будь-який контурний струм:
Для непланарного електричного кола незалежні контури слід визначати за допомогою дерева. Наприклад, розглянемо коло на Рис. 28, а.
У колі 5 вузлів. (Рис. 28, б). Дерево має чотири вітки. Кожна вітка зв’язку (пунктирні лінії, номери в кружках) разом з відповідними вітками дерева (су-цільні лінії) утворює незалежний контур (6 незалежних контурів).
Алгоритм розрахунку електричного кола методом контурних струмів.
1. Вибираємо незалежні контури і орієнтуємо в них контурні струми. При цьому через вітку, в якій є джерело струму без паралельно підімкненого резистора, повинен проходити лише один контурний струм, який дорівнює струму джерела. Рівняння для такого контура не складається, тому що його струм відомий.
|
|
2. Визначаємо власні та спільні опори контурів і контурні ЕРС.
3. Будь-яким способом розв’язуємо систему рівнянь і визначаємо контурні струми.
4. За знайденими контурними струмами знаходимо струми у вітках схеми, як алгебраїчні суми контурних струмів.
Приклад 1. Розрахувати методом контурних струмів усі струми у колі (Рис. П1)при таких заданих параметрах: R 1 = 26 (Ом), R 2 = 10 (Ом), R 3 = 18 (Ом), R 4 = 14 (Ом), R 5 = 20 (Ом), R 6 = 8 (Ом), E 2 = 20 (В), E 7 = 24 (В), J= 2 (А).
У колі чотири незалежних контури. За методом контурних струмів потрібно скласти три рівняння, оскільки контурний струм відомий.
Власні опори контурів:
Взаємні опори у даному випадку – від’ємні:
Контурні ЕРС:
Підставляєм ці значення у початкову систему рівнянь
після спрощення:
Розв’язуємо систему рівнянь за допомогою визначників:
Знаходимо контурні струми:
Всі контурні струми додатні - дійсні їх напрямки співпадають із виб-раними. Для перевірки вірності розрахунків потрібно підставити знайдені кон-турні струми у початкові рівняння. Тотожність лівої і правої частин кожного з цих рівнянь свідчить про правильність їх розв’язку. Допустима похибка залежить від точності чисельних розрахунків і не повинна перевищувати 1%.
Струми віток дорівнюють алгебраїчним сумам контурних струмів, що проходять у вітках:
У вітках із ЕРС Е2 та Е7 напрями струмів співпадають із напрямами ЕРС, тому потужності джерел напруги Е2 і Е7 додатні. Для визначення потужності джерела струму J необхідно визначити напругу Uaб на його полюсах:
Перевірка вірності розв’язку за балансом потужностей.
Рдж =Рсп
Баланс потужностей зійшовся із допустимою похибкою, що означає пра-вильність розв’язку задачі.