Производные высших порядков

Так как частные производные и являются новыми функциями двух переменных, то можно найти также и их следующие частные производные, которые будут частными производными второго порядка т.е.

и .

Здесь логика вычислений очевидна. Однако обратим внимание на то, что производную можно было бы дальше дифференцировать не по своему аргументу х, а по аргументу у. Точно так же можно было бы далее дифференцировать по аргументу х. Т.е. получить производные

и .

Такие производные называются смешанными частными производными второго порядка. В теории функции одного переменного ничего подобного нет.

Рассмотрим производные высших порядков на примере функции . Вычислим первые производные:

, аналогично .

Вторые частные производные:

, аналогично .

А теперь получим смешанные производные:

, аналогично .

Совпадение двух последних результатов не случайно – мы попутно доказали важную теорему: если частные производные второго порядка непрерывны в точке , то в этой точке вторые смешанные производныеравны между собой и не зависят от способа их вычисления, т.е.

.

Для вычисления второй смешанной производной можно использовать любой из этих двух способов. Отметим, что производные порядка выше второго, а также дифференциалы высших порядков редко встречаются в прикладных задачах, поэтому здесь не рассматриваются.