Решение полной проблемы собственных значений

В основе всех методов решения полной проблемы собственных значений лежат подобные преобразования матриц, т.е. преобразования вида С = Р ^–1 АР, | P | ≠ 0. Матрица С называется подобной матрице А. Характеристический полином матрицы А при подобном преобразовании не меняется, а значит собственные числа матрицы С такие же, как и у матрицы А. Поэтому матрицу А подобным преобразованием стремятся привести к матрице С, для которой гораздо легче вычислить собственные числа.

Среди множества методов решения полной проблемы собственных значений рассмотрим только один: метод Якоби для вычисления всех собственных чисел и собственных векторов симметричной матрицы. Суть метода Якоби в том, что всякая симметричная матрица А порядка n может быть представлена в виде:

A = Q^TΛQ, (8)

где Q – ортогональная матрица, Λ – диагональная с элементами λ ₁, …, λ_n – собственными числами матрицы А.

Из (8) получаем

AQ^T = Q^TΛ, QAQ^T = Λ,

т.е. i -я строка матрицы Q является собственным вектором, соответствующим собственному числу λ_i. Таким образом, подобное преобразование переводит матрицу А в диагональную. Это осуществляется при помощи последовательности элементарных матриц вращения Р ⁽¹⁾, …, Р ^{( k )} таких, что при Q ^{( k )} = Р ^{( k )}… Р ⁽¹⁾ и при k → ∞ A ^{( k )} = Q ^{( k )} A (Q ^{( k )}) ^T → Λ.

Если нужно аннулировать максимальный внедиагональный элемент матрицы A ^{( k )}, то для элементов матрицы преобразования ≡ Р ^{( k +1)} можно взять выражения

c = ; s = ;

х = ; y = . (9)

Скорость сходимости метода определяется неравенством

( - λ_m)² ≤ ,

где λ_m – собственные числа номера m матрицы А, – диагональные элементы матрицы A ^{( k +1)}. Строки матрицы Q ^{( k )} являются приближениями к собственным векторам матрицы А.

Существенным в методе Якоби является вопрос о порядке аннулирования внедиагональных элементов. При использовании метода вращений целесообразно применять аннулирование «по преградам». В этом случае задается монотонно убывающая последовательность чисел (преград)

α_n = , k = 0, 1, 2, …; σ = , (10)

Находится внедиагональный элемент a_ij по модулю больший, чем α ₀, если такого элемента нет, то преграда α ₀ заменяется на α ₁. Если есть элемент, превышающий преграду, то он аннулируется. После аннулирования всех внедиагональных элементов, больших, чем α_k, строится следующая преграда по формуле (10). Процесс продолжается до тех пор, пока все внедиагональные элементы не станут меньше, чем εσ (величина ε задается).

Пример. Найти собственные значения матрицы с аннулированием максимальных по модулю внедиагональных элементов.

Сначала будем аннулировать элемент а ₁₂ = 2. Для этого вычисляем элементы матрицы вращения Р ⁽¹⁾ по формулам (9)

y = –1, x = , s = 0,5257, c = 0,8506

и элементы матрицы А ⁽¹⁾ = Р ⁽¹⁾ А (Р ⁽¹⁾) ^Т

= = са ₃₁ + sа ₃₂ = –0,2008; = = – sа ₃₁ + cа ₃₂ = 2,2270;

= s ² a ₁₁ + 2 sca ₁₂ + c ² a ₂₂ = 0,2361; = c ² a ₁₁ – 2 sca ₁₂ + s ² a ₂₂ = 4,2361;

= = –10^–5; = a ₃₃ = 1.

На этом заканчивается первый шаг процесса.

Далее аннулируется максимальный элемент = 2,2270 матрицы А ⁽¹⁾. Элементы матрицы вращения Р ⁽²⁾ в этом случае имеют вид

Q ⁽²⁾ = .

После шестого шага получаем

А ⁽⁶⁾ = , Q ⁽⁶⁾ = .

Таким образом, матрица А ⁽⁶⁾ с точностью до 10^–4 является диагональной. Ее диагональные элементы являются приближениями к собственным числам исходной матрицы А, а строки матрицы Q ⁽⁶⁾ являются соответствующими собственными векторами.