Ряд называется знакопеременным, если его члены поочерёдно положительны и отрицательны: , где аn>0.
Признак Лейбница: Знакопеременный ряд сходится, если его члены стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению. Итак, должны выполняться два условия:
1) ;
2) .
Замечание: остаток такого ряда имеет тот же знак, что и первый отбрасываемый член, и меньше его по абсолютному значению.
Задание 6. Исследовать ряд на сходимость по признаку Лейбница:
Применим признак Лейбница для знакопеременного ряда. Так как члены ряда стремятся к нулю всё время убывая по абсолютному значению, следовательно, ряд сходится: Ответ: ряд сходится. | Ответ: ряд _________________. |
Степенной ряд.
Степенным рядом называется ряд вида (1): ао+а1х+а2х2+...+апхп+...,
а также ряд более общего вида (2): ао+а1 (х-х0) +а2х2 (х-х0) 2+...+апхп (х-х0) n+...,
говорят, что он расположен соответственно по степеням х, о или по степеням х - х0.
Постоянные а0, a1,..., ап,... называются коэффициентами степенного ряда.
|
|
Если обозначить х-х0 через z, то ряд (2) окажется расположенным по степеням z, т. е. примет вид (1). Поэтому в дальнейшем, если особо не оговорено, степенным рядом именуется ряд вида (1). Степенной ряд всегда сходится при х =0.
Относительно сходимости его в других точках могут представиться три случая
1) степенной ряд может расходится во всех точках, кроме х =0, например,
11х1+22х2+33х3+…+ ппхп+...,
2) степенной ряд может сходиться во всех точках, например,
3) степенной ряд может сходиться в одних точках и расходится в других.