Математичний аналіз: неперервність функції, границя функції; диференціальне числення функції однієї змінної

Вступ до математичного аналізу. Границя числової послідовності. Границя функції. Неперервні функції. Похідна та диференціал. Основні теореми диференціального числення та їх застосування.

Математичний аналіз: інтегральне числення; функції багатьох змінних та їх диференціал

Невизначений інтеграл. Визначений інтеграл. Невласні інтеграли. Застосування визначених інтегралів. Функції багатьох змінних. Частині похідні та диференціали. Класичні методи оптимізації функції багатьох змінних.

Звичайні диференціальні рівняння та їх системи

Звичайні диференціальні рівняння першого порядку. Звичайні диференціальні рівняння другого порядку. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків. Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами. Системи диференціальних рівнянь.

Теорія рядів. Криволінійний інтеграл

Числові ряди:Функціональні ряди. Степеневі ряди. Ряди Тейлора. Ряди Фур’є. Кратні інтеграли. Криволінійні інтеграли. Поверхневі інтеграли. Застосування кратних, криволінійних та поверхневих інтегралів.

Завдання контрольної роботи

Контрольна робота №1

1–10 Довести сумісність системи лінійних рівнянь (за головним визначником) і розв’язати її за правилом Крамера, методом Гаусса та засобами матричного числення.

10.

11-20 Дослідити на сумісність системи лінійних рівнянь. У випадку сумісності знайти їх розв’язок:

11 а) b)

12 а) b)

13 а) b)

14 а) b)

15 а) b)

16 а) b)

17 а) b)

18 а) b)

19 а) b)

20 а) b)

21–30 Записати систему нерівностей в матричному вигляді . Побудувати область, яка визначається цією нерівністю, і вказати координати вершин многогранника.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31-40 Скласти канонічне рівняння:

а) еліпса;

б) гіперболи;

в) параболи,

якщо , – точки, які лежать на кривій, – фокус, – велика (дійсна) піввісь, – мала (уявна) піввісь, – ексцентриситет, – рівняння асимптот гіперболи, – директриса кривої, – фокусна відстань.

31 а) , ; б) , ; в) : ;

32 а) , ; б) , ; в) : ;

33 а) , ; б) , ; в) : ;

34 а) , ; б) , ; в) : ;

35 а) , ; б) , ; в) вісь симетрії і ;

36 а) , ; б) , ; в) вісь симетрії і ;

37 а) , ; б) , ; в) : ;

38 а) , ; б) , ; в) : ;

39 а) , ; б) , ; в) : ;

40 а) , ; б) , ; в) : ;

41-50 Вершини піраміди знаходяться в точках , , і . Обчислити:

а) площу вказаної грані;

б) площу перерізу, який проходять через середину ребра і дві вершини піраміди;

в) об’єм піраміди .

41 , , , ; а) ; б) , і ;

42 , , , ; а) ; б) , і ;

43 , , , ; а) ; б) , і ;

44 , , , ; а) ; б) , і ;

45 , , , ; а) ; б) , і ;

46 , , , ; а) ; б) , і ;

47 , , , ; а) ; б) , і ;

48 , , , ; а) ; б) , і ;

49 , , , ; а) ; б) , і ;

50 , , , ; а) ; б) , і ;

51-60 Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя

51. a) ; b)

52 a) ; b)

53. a) b)

54. a) b)

55. a) b)

56. a) b)

57. a) b)

58. a) b)

59. a) b)

60. a) b)

61–70 Для функції двох змінних знайти частинні похідні другого порядку.

61. a) ; b) ; c)

62. a) ; b) ; c)

63. a) ; b) ; c)

64. a) ; b) ; c)

65. a) ; b) ; c)

66. a) ; b) ; c)

67. a) b) ; c)

68. a) ; b) ; c)

69. a) ; b) ; c)

70. a) ; b) ; c)

71–80 Знайти:

a) в точці А;

b) похідну функції в точці А в напрямку вектора .

71. ,

72 , .

73 , .

74. , .

75. , .

76 , .

77 , .

78 , .

79 ,

80 , .

Контрольна робота №2

1–10 Знайти невизначені інтеграли. В двох перших прикладах перевірити результати диференціюванням:

1. а) b) c)

d) e) f)

2. а) b) c)

d) e) f)

3. а) b) c)

d) e) f)

4. а) b) c)

d) e) f)

5. а) b) c)

d) e) f)

6. а) b) c)

d) e) f)

7. а) b) c)

d) e) f)

8. а) b) c)

d) e) f)

9. а) b) c)

d) e) f)

10. а) b) c)

d) e) f)

11. Обчислити довжину однієї арки циклоїди: , , . Виконати креслення.

12. Обчислити площу фігури, обмеженої параболою и прямою . Виконати креслення.

13. Обчислити площу фігури, обмеженої однією аркою циклоїди: , , віссю . Виконати креслення.

14. Обчислити площу фігури, обмеженої кардіоїдою . Виконати креслення.

15. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо оси фігури, обмеженої параболами и . Виконати креслення.

16. Обчислити площу фігури, обмеженої чотирьохпелюстковою розою . Виконати креслення.

17. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи від точки до точки . Виконати креслення.

18. Обчислити довжину кардіоїди . Виконати креслення.

19. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, обмеженої лініями , . Виконати креслення.

20 Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вісі фігури, обмеженої лініями , . Виконати креслення.

21-30. Розв’язати указані рівняння і систему диференціальних рівнянь.

21. a) , b) , c) , , d) , e) , f)	22. a) , b) , c) , , d) , e) , , , f)
23. a) , b) , , c) , d) , , , , e) , f)	24. a) , b) , c) , , d) , e) , , , f)
25. a) , b) , c) , d) , , , e) , f)	26. a) , b) , c) , , d) , e) , f)
27. a) , b) , , c) , d) , , e) , f)	28. a) , b) , , c) , d) , e) , f)
29. a) , b) , c) , d) , e) , f)	30. a) , b) , c) , d) , , e) , f)

31-40 Дослідити збіжність числового ряду.

31 32 33

34 35 36

37 38 39

41-50. Знайти область збіжності степеневого ряду..

41 46

42 47

43 48

44 49

45 50

51-60. Знайти чотири перших відмінних від нуля члена розкладу в степеневий ряд розв’язку диференційного рівняння , що задовольняє початковій умові .