Образцы решения задач контрольной работы

Методические указания

К выполнению контрольных работ для студентов ЗФО МИППС

Направления 08.03.01- Строительство

2014/2015 учебный год

Студентам заочной формы обучения 1-го курса по дисциплине «Математика» следует выполнить 2 контрольные работы. При этом рекомендуется пользоваться следующим методическим пособием:

1. Высшая математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Арутюнов Ю.С., Полозков А.П., Полозков Д.П. / 1985.

Контрольные задания следует выполнять согласно присвоенному студенту варианту. Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в списке.

Семестр

Контрольная работа № 1

Семестр

Контрольная работа № 2

№ вари- анта	Контрольная работа 1 № задания из [1]	Контрольная работа 2 № задания из [1]
	1,12,53,91,114,135,144,157,198,236	281,312,323,347,399,404,425,437,488,506
	2,13,54,92,115,136,145,158,199,237	282,313,324,348,400,405,426,438,489,507
	3,14,55,93,116,137,146,159,200,238	283,314,325,349,391,406,427,439,450,508
	4,15,56,94,117,138,147,160,191,239	284,315,326,350,392,407,428,440,441,509
	5,16,57,95,118,139,148,151,192,240	285,316,327,341,393,408,429,431,442,510
	6,17,58,96,119,140,149,152,193,231	286,317,328,342,394,409,430,432,443,501
	7,18,59,97,120,131,150,153,194,232	288,318,329,343,395,410,421,433,444,502
	8,19,60,98,111,132,141,154,195,233	289,319,330,344,396,401,422,434,445,503
	9,20,51,99,112,134,142,155,196,234	290,320,321,345,397,402,423,435,446,504
	1,11,52,100,113,135,143,156,197,235	281,311,322,346,398,403,424,436,447,505
	2,12,53,91,114,136,144,157,198,236	282,312,323,347,399,404,425,437,448,506
	3,13,54,92,115,137,145,158,199,237	283,313,324,348,400,405,426,438,449,507
	4,15,55,93,116,138,147,159,200,238	284,314,325,349,391,406,427,439,450,508
	5,17,56,97,111,139,143,155,192,233	285,315,326,350,392,407,428,440,441,509
	6,18,57,98,112,131,144,156,193,234	286,316,327,341,393,408,429,431,442,510
	7,19,58,99,113,132,145,157,193,235	287,317,328,342,394,409,430,432,443,501
	8,20,59,100,114,133,146,158,194,236	288,318,329,343,395,410,421,433,444,502
	9,11,60,91,115,134,147,159,195,237	289,319,330,344,396,401,422,434,445,503
	10,12,51,93,116,135,148,160,196,238	290,320,321,345,397,402,423,435,446,504
	4,13,52,94,117,136,149,151,197,239	281,311,322,346,398,403,424,436,447,505

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради в клетку. Все решения оформляются по плану: полная формулировка условия задачи, развернутое решение со всеми необходимыми пояснениями, ответ. В конце контрольной работы необходимо указать список использованной при выполнении работы литературы, поставить дату и свою подпись.

Список рекомендуемой литературы:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, Т. 1, 2, учебное пособие для ВТУЗов, М.–Наука, 1999.–304 с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для ВТУЗов 1, 2 часть, М.–Высшая школа, 1985.–560 с.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Юнити-Дана, 2009.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш.школа, 2003.

5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. – М.: Высш.школа, 2003

(указанная литература имеется в библиотеке Новороссийского филиала КубГТУ)

6. Ларин А.А. Курс высшей математики. Часть 1-4. Электронный пакет лекций.

mailto: aalar@yandex.ru

Образцы решения задач контрольной работы

Тема: Интегральное исчисление функции одной переменной.

Для выполнения контрольной работы студент должен знать следующие понятия и методы:

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Способы вычисления неопределенных интегралов. Замена переменной, интегрирование по частям в неопределенных интегралах. Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенных интегралах. Применение определенных интегралов при вычислении площадей плоских фигур, поверхностей, объемов, длин дуг кривых.

Список рекомендуемой литературы:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления,

т. 1, учебное пособие для ВТУЗов, М.–Наука, 1999.–304 с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для ВТУЗов, М.–Высшая школа, 1985.–560 с.

2. Ларин А.А. Курс высшей математики. Часть 1-4. Электронный пакет лекций.

mailto: aalar@yandex.ru

Пример 1.

Делаем замену . Получаем

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример5.

Т.к. (, то

Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:

Решаем систему линейных уравнений методами, изученными в 1 семестре, получим

Итак:

Пример 6.

Тема: Дифференциальные уравнения и операционное исчисление

Для выполнения контрольной работы студент должен иметь следующие теоретические знания:

–Понятие дифференциального уравнения, общего, частного решения, общего, частного интеграла.

–Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнение с разделяющимися переменными. Однородное уравнение. Линейное уравнение. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнение Бернулли.

–Дифференциальные уравнения п -го порядка. Уравнение, допускающее понижение порядка. Линейные уравнения, вронскиан, общее решение. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Случай со специальной правой частью. Метод вариации постоянной Лагранжа.

–Решение систем дифференциальных уравнений. Нормальные системы.

–Преобразование Лапласа. Нахождение изображения по оригиналу и наоборот. Применение операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и их систем.

Список рекомендуемой литературы:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления,

т. 2, учебное пособие для ВТУЗов, М.–Наука, 1999.–304 с.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Учебное пособие для ВТУЗов, М.–Высшая школа, 1985.–560 с.

2. Ларин А.А. Курс высшей математики. Часть 1-4. Электронный пакет лекций.

mailto: aalar@yandex.ru

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение: ,

Интеграл, стоящий в левой части, берется по частям

Тогда уравнение примет вид:

-это общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Введем вспомогательную функцию: .

Подставляем в исходное уравнение и разделяем переменные:

Переходя к функции у, получаем общее решение:

Пример 3. Решить уравнение

Производим замену переменной: тогда уравнение примет вид:

Отсюда одно из решений далее

Общее решение:

Пример 4. Решить уравнение

Решение.

Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:

Общее решение однородного уравнения:

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Отсюда Частное решение имеет вид:

Общее решение линейного неоднородного уравнения:

Пример5. Решить уравнение средствами операционного исчисления:

Решение:

Изображение искомой функции будем искать в виде:

Находим оригинал, т.е. искомую функцию:

Тема: теория вероятности и математическая статистика

Для выполнения контрольной работы №1 студент должен иметь следующие теоретические знания:

–Событие, классификации событий. Классическое определение вероятности, ее свойства. Геометрическое определение вероятности.

–Алгебра событий. Условные вероятности. Независимость событий. Теоремы умножения и сложения. Формула полной вероятности, формулы Байеса. Формула Бернулли. Предельные теоремы.

–Случайные величины. Дискретная случайная величина, ее закон распределения. Примеры дискретных распределений. Непрерывная случайная величина. Функция распределения, ее свойства. Плотность распределения, ее свойства. Примеры непрерывных распределений. Числовые характеристики случайных величин, их свойства.

–Элементы математической статистики. Основные задачи математической статистики. Вариационный ряд. Выборочный метод. Числовые характеристики выборки. Доверительная вероятность, доверительный интервал.

–Корреляционный анализ. Уравнение линий регрессии. Коэффициент корреляции, его свойства.

Список рекомендуемой литературы:

1. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Юнити-Дана, 2009

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высш.школа, 2003

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистики. – М.: Высш.школа, 2003

(указанная литература имеется в библиотеке Новороссийского филиала КубГТУ

Пример 1. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными.

Решение. Обозначим бракованную деталь – событие А, не бракованную – событие .Тогда .

Если среди трех деталей оказывается только одна бракованная, то это возможно в одном из трех случаев: бракованная деталь будет первой, второй или третьей.

Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Найти вероятность того, что из случайно зафиксированных в этом месяце 8 дней дождливыми окажутся: а) три дня; б) не менее трех дней; в) не более трех дней.
Наблюдения в условиях данной задачи являются независимыми.

Решение:

Вероятность выпадения дождя в любой день сентября р = 12/30 = 0,4, а вероятность того, что в любой день сентября дождя не будет, q = 1– р = =1–0,4=0,6. Вероятность того, что в n наблюдениях событие наступит m раз, определяется формулой биномиального распределения (формулой Бернулли): .

а) По условию задачи n = 8, m = 3, р =0,4, q = 0,6. Тогда

б) Поскольку ,то

в) Так как , то

Ответ: 0,278692; 0,624893; 0,653309.

Пример 3. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р₁=0,3; p₂=0,4; p₃=0,5; p₄=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Решение. Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим, что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4. Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .

1) Не отказал ни один прибор.

2) Отказал один из приборов.

0,302.

3) Отказали два прибора.

4) Отказали три прибора.

5) Отказали все приборы.

Получаем закон распределения:

x
x²
p	0,084	0,302	0,38	0,198	0,036

Вычисляем математическое ожидание и дисперсию:

Пример 4. Задана непрерывная случайная величина х своей функцией распределения f(x).

Требуется определить коэффициент А, найти функцию распределения, построить графики функции распределения и плотности распределения, определить вероятность того, что случайная величина х попадет в интервал .