2015-10-22
2631
Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно то положительны, то отрицательны. Сходимость знакочередующихся рядов устанавливается с помощью признака Лейбница:
Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают, т.е. u1>u2>….>un>… и предел его общего члена при 
равен нулю, то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена ряда.
Сходящиеся по признаку Лейбница знакочередующиеся ряды дополнительно исследуют на абсолютную и условную сходимость.
Ряд называется абсолютно сходящимся, если он сходится по признаку Лейбница, и сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.
Ряд называется условно сходящимся, если ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются.
Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.
|
|
|
Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.
Пример 2. Исследовать сходимость ряда: 
.
Решение. Сходимость этого знакочередующегося ряда установим с помощью признака Лейбница, для чего проверим выполнение двух условий:
1) предел общего члена 
,
2) абсолютные величины членов ряда убывают, так как 
Следовательно, ряд сходится.
Исследуем его на абсолютную сходимость. Для этого составим ряд из абсолютных величин данного ряда: 
, так как 
, т.е. члены данного ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, то по признаку сравнения ряд 
расходится. Поэтому, ряд - условно сходящийся.
Функциональные ряды
Функциональным рядом называется ряд 
, где un(x) – функция. Ряд называется сходящимся в точке x0 , если сходится числовой ряд 
.
Совокупность 
, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости.
Ряд называется абсолютно сходящимся на множестве X, если на этом множестве сходится ряд 
.
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве X если для любого ε >0 найдется такое N=N(ε), что для всех n>N выполняется | 
| < ε для всех .
Признак Вейерштрасса:
Функциональный ряд сходится на множестве X равномерно, если | un( x) | ≤ an для всех и числовой ряд 
сходится. Ряд называется мажорантой ряда .
Свойства равномерно сходящихся рядов:
Пусть функциональный ряд равномерно сходится для 
и имеет сумму S(x). Тогда справедливы теоремы:
1. Если в точке 
непрерывна un(x), то в этой точке непрерывна функция S(x).
2. Если un(x) непрерывна на 
, то ряд можно почленно интегрировать: 
3. Если un(x) имеют непрерывные производные и функциональный ряд 
сходится равномерно, то ряд можно почленно дифференцировать:
|
|
|
и функция 
непрерывна на .
Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд, составленный из степенных функций: 
Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится при х = х1, то он абсолютно сходится при |х |< |х1|; если ряд расходится при x = x2 , то он расходится при |х |> |х2|.
Число R называется радиусом сходимости, если для |х| < R ряд сходится, а при |х| >R – расходится. Степенные ряды в интервале (-R, R) обладают всеми свойствами равномерносходящихся функциональных рядов.
Радиус сходимости R = 
Степенные ряды Тейлора и Маклорена
Пусть f(x) – бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки x0 . Разложение функции f(x) в ряд Тейлора:
При x=0 ряд Тейлора называется рядом Маклорена. Для разложимости f(x) в ряд Телора достаточно, чтобы 
для всех n, где M – некоторое число.
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена:
Первые три ряда имеют радиус сходимости 
, а у остальных R =1.
Ряд Фурье.
Непрерывная функция f(x), имеющая на интервале (-l,l) конечное число экстремумов, разлагается в ряд Фурье:
, где
; 
Если f(x) – четная (нечетная) функция, то коэффициенты bn (an) равны нулю.
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда:
Решение. Общий член данного ряда 
, коэффициент ряда
, следовательно, 
.
Определим радиус сходимости: 
. Интервал сходимости (-2;2). Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала: при х=-2 имеем знакочередующийся ряд.
или 
этот ряд сходится по признаку Лейбница, так как 
, и абсолютные величины членов ряда убывают: 
; при х=2 имеем знакоположительный ряд 
, или 
, который расходится (гармонический ряд). Таким образом, данный степенной ряд сходится в промежутке: [-2;2).
Пример 4. Используя разложение в ряд, вычислить 
с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции:
При х=-0,2 получим:
Если отбросить члены ряда, начиная с пятого, то погрешность вычисления будет по абсолютной величине меньше, чем 
.
Поэтому, для вычисления с заданной точностью можно ограничиться четырьмя членами ряда: 
.
Пример 5. Вычислить приближенно определенный интеграл: 
, взяв два члена разложения подынтегральной функции в ряд, и оценить погрешность вычисления.
Решение. Найдем разложение функции: 
в ряд, используя биномиальный ряд:
;
при m=-1/2 и, заменяя х на х3, получим:
.
Взяв только два члена разложения, получим: 
.
Погрешность 
полученного приближенного значения интеграла не превосходит по абсолютной величине третьего отброшенного члена ряда:
.
Упражнения.
6.1. Исследовать сходимость ряда с помощью признака сравнения:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
; g) 
; h) 
.
6.2. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
; g) 
; h) 
.
6.3. Исследовать сходимость ряда с помощью интегрального признака:
a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
; e) 
; f) 
.
6.4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакочередующийся ряд:
a) 
; b) 
; c) 
; d) 
;
e) 
; f) 
; g) 
; h) 
.
6.5. Найти область сходимости степенного ряда:
a) 
; b) 
; c) 
;
d) 
; e) 
; f) 
; q) 
.
6.6. Приложение рядов к приближенным вычислениям.
a) Вычислить ln1,3 с точностью до 0,0001, пользуясь разложением функции в ряд Маклорена y = ln (1+x).
b) Вычислить приближенно 
с точностью до 0,0001, пользуясь разложением функции y = (1+x)m в ряд Маклорена.
c) С точностью до 0,0001 вычислить приближенно 
используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.
