Для изображения действительных чисел используются точки на числовой прямой. Комплексным числам соответствуют точки на координатной плоскости. Числу соответствует точка с координатами .
Каждой точке на плоскости ставится в соответствие радиус–вектор .
Определение 1.4. Длину радиус–вектора называют модулем комплексного числа .
Угол между радиус-вектором и положительным направлением оси называют аргументом комплексного числа (рис.1.1.).
Модуль комплексного числа обозначают , аргумент − . Аргумент комплексного числа определён с точностью до , . Из определения следует, что , , и , т. е., , тогда .
Определение 1.5. Выражение вида называется тригонометрической формой комплексного числа.
Формулы Муавра
;
, где .
1.1. Выполнить действия, ответ записать в алгебраической форме:
1. . | 2. . |
3. . | 4. . |
5. . | 6. . |
7. . | 8. . |
9. . | 10. . |
11. , , , . | 12. , , , . |
1.2. Решить уравнения и проверить подстановкой корней в уравнение:
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
1.3. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:
|
|
1. 1. | 8. –1. | 15. . |
2. 5. | 9. . | 16. . |
3. –2. | 10. . | 17. . |
4. . | 11. . | 18. |
5. | 12. . | 19. . |
6. . | 13. . | 20. . |
7. . | 14. . | 21. . |
1.4. Вычислить:
1. . | 4. . | 7. . |
2. . | 5. . | 8. . |
3. . | 6. . | 9. . |
1.5. Найти все значения корней:
1. . | 4. . | 7. . |
2. . | 5. . | 8. . |
3. . | 6. | 9. . |
1.6. 1) Доказать, что сумма и произведение взаимно сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.
2) Доказать равенства:
1. .
2. .
3. ..
4. .
1.7. Найти формулы для вычисления степеней числа i.
1.8. Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
1.9. Как расположены на комплексной плоскости: 1) сопряженные числа; 2) противоположные числа; 3) корни n -ой степени?
1.10 Решить уравнения:
1. . | 3. . | 5. . |
2. . | 4. . |
1.11. Решить уравнения:
1. ;
2. ;
3. .
1.12. Где находится точка z комплексной плоскости, если точка принадлежит мнимой оси?
1.13. Найти действительные корни уравнения .
КОМБИНАТОРИКА
Пусть дано множество (все элементы различны). Обозначим произведение натуральных чисел («эн факториал»). По определению .
Определение 1.8. Перестановкой из элементов называется любое упорядоченное множество из этих элементов.
Пример 1.3. Пусть . Найти все перестановки.
Решение. . Их количество .
Теорема 1.1. Число перестановок из элементов равно
Число перестановок обозначают . Итак, .
Пример 1.4. Сколькими способами можно разместить 5 гостей
1) в ряд;
2) за круглым столом.
Решение.
1) .
2) Зафиксируем одного гостя. Остальных упорядочим относительно выбранного .
Определение 1.9. Размещением из элементов по элементов называются перестановки по элементов, взятые из множества в элементов. Обозначение числа размещений .
Теорема 1.2. Число размещений .
|
|
Пример 1.5. Найти все размещения по 2 элемента из множества .
Решение. . Их количество
Пример 1.6. Сколько четырёхбуквенных слов можно составить из 7 различных букв.
Решение.
Определение 1.10. Сочетанием из элементов по элементов называется любое неупорядоченное подмножество из элементов множества в элементов.
Число сочетаний обозначается .
Пример 1.7. Дано . Найти все сочетания по 2 элемента.
Решение. ; . Порядок элементов нам не важен.
Теорема 1.3. Число сочетаний
Пример 1.8. Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из группы в 30 человек?
Решение. .
1.14. Найдите: 1) 0!; 2) 5!; 3) 7!; 4) ;5) .
1.15. Сократите дробь: 1) ; 2) .
1.16. Решить уравнение: .
1.17. Найдите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
1.18. Докажите, что .
1.19. Докажите равенство: ; 2. .
1.20. Докажите, что .
1.21. В некотором царстве все люди отличаются набором зубов. Каково население этого царства?
БИНОМ НЬЮТОНА
Если и – числа, а , то
. (1)
Следствие 1.1. , где – называют биномиальными коэффициентами.
Пример 1.9. Найти сумму биномиальных коэффициентов.
Решение. Положим в (1) , , тогда .
Сумма биномиальных коэффициентов равна .
Биноминальные коэффициенты можно найти из треугольника Паскаля
1.22. Разложите по биному:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. .
1.23. Найдите: 1) пятое; 2) 10; 3) 15; 4) 16 слагаемое в разложении .
1.24. Докажите, что
1) ;
2) Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
1.25. Пользуясь формулой Муавра и биномом Ньютона, выразить через степени и следующие функции кратных углов:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .