Поняття детермінанта матриці

Cистеми лінійних рівнянь

Поняття матриці

Системою m лінійних рівнянь з n невідомими називають сукупність рівнянь вигляду

(1.1)

Сукупність чисел a₁, a₂,..., a_n називають розв’язком системи (1.1), якщо при підстановці цих чисел у систему відповідно замість x₁, x₂,..., x_n усі рівняння перетворюються в тотожності.

Система (1.1), що має хоч один розв’язок, називається

сумісною. Якщо система (1.1) не має розв’язку, то її називають несумісною.

Якщо m = n, то система буде квадратна. Очевидно, що властивості системи залежать лише від вільних членів та коефіцієнтів при невідомих. Тобто система (1.1) та її розв’язки повністю характеризуються таблицею чисел

.

Така прямокутна таблиця називається матрицею, а самі числа, що її заповнюють, — елементами матриці.

При цьому матрицю називають

матрицею системи порядку m ´ n (читаємо: ем на ен), де

m — кількість рядків, n — кількість стовпців матриці.

Якщо m = n, то матриця системи називається квадратною n -го порядку.

Очевидно, що матриця квадратної системи є квадратна.

Матрицю порядку m ´ n можна позначити коротко A, А_mn, (a_ij), де , , a_ij — елемент матриці А, що міститься в i -му рядку та j -му стовпці.

Якщо матриця має тільки один стовпець, то її називають матриця-стовпець.

Наприклад, = B₁ — матриця-стовпець порядку m ´1.

Якщо матриця має тільки один рядок, то її називають

матриця-рядок.

Наприклад, = H₁ — матриця-рядок порядку 1´ n.

Якщо матриця є квадратна n -го порядку, то її елементи розташовані уздовж головної діагоналі, а елементи розташовані уздовж побічної діагоналі.

Квадратна матриця називається діагональною, якщо усі її елементи, що не лежать на головній діагоналі, дорівнюють нулю.

Позначення: D = .

Діагональна матриця називається одиничною, якщо усі її елементи, що лежать на головній діагоналі, дорівнюють одиниці, а решта — нулі.

Позначення: E, I, [1], .

Зауважимо, що одиничну матрицю зручно подати за допомогою символу Кронекера d_ij, який визначається так:

d_ij =

Таким чином E = (d_ij), , .

Якщо усі елементи матриці є нулі, то її називають нульовою і позначають О.

Діагональна матриця називається скалярною, якщо усі її елементи, що розташовані на головній діагоналі, рівні між собою, а решта — нулі.

Позначення: C =

Квадратну матрицю називають трикутною, якщо усі її елементи, що розташовані нижче або вище головної діагоналі, є нулі:

або .

Матрицю довільного порядку, яка має вигляд

,

будемо називати трапецоїдною.

Зауважимо, що по «головній діагоналі» трапецоїдної матриці спочатку розташовані елементи, що не дорівнюють нулю, а потім — нульові елементи, якщо вони є. Причому нульовий елемент головної діагоналі належить тільки нульовому рядку.

Поняття детермінанта матриці.