Систему линейных уравнений с неизвестными можно записать в таком виде:
Для этого случая также можно составить главный и вспомогательные определители, а неизвестные определять по правилу Крамера. Проблема состоит в том, что определители более высокого порядка могут быть вычислены только путем понижения порядка и сведения их к определителям третьего порядка. Это может быть осуществлено способом прямого разложения по элементам строк или столбцов, а также с помощью предварительных элементарных преобразований и дальнейшего разложения.
Пример 4. Вычислить определитель четвертого порядка
Решение найдем двумя способами:
а) путем прямого разложения по элементам первой строки:
б) путем предварительных преобразований и дальнейшего разложения
а) из І строки вычтем ІІІ | ||
б) ІІ строку прибавим к ІV |
а) из IV строки вынесем 2 | |
б) сложим III и IV столбцы | |
в) умножим на 2 III столбец и прибавим ко II |
Пример 5. Вычислить определитель пятого порядка, получая нули в третьей строке с помощью четвертого столбца
|
|
из первой строки вычтем вторую, из третьей вычтем вторую, из четвертой вычтем вторую, умноженную на 2. |
из второго столбца вычтем третий:
из второй строки вычтем третью:
Пример 6. Решить систему:
Решение. Составим определитель системы и, применив свойства определителей, вычислим его:
(из первой строки вычтем третью, а затем в полученном определителе третьего порядка из третьего столбца вычитаем первый, умноженный на 2). Определитель , следовательно, формулы Крамера применимы.
Вычислим остальные определители:
Четвертый столбец умножили на 2 и вычли из остальных
Четвертый столбец вычли из первого, а затем, умножив на 2, вычли из второго и третьего столбцов.
.
Здесь выполнили те же преобразования, что и для .
.
При нахождении первый столбец умножили на 2 и вычли из остальных.
По правилу Крамера имеем:
.
После подстановки в уравнения найденных значений убеждаемся в правильности решения системы.
2. МАТРИЦЫ и ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
В РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Понятие о матрицах
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел следующего вида:
- элемент матрицы
(первый индекс – это номер строки, второй индекс – это номер столбца ; ). Размерность данной матрицы , а в общем виде – .
Матрица – это таблица и вычислить ее нельзя. Например, запасы тканей на конец года на базах Облпотребсоюза представлены в табл. 1.
Таблица 1. Запасы тканей на базах (тыс. грн.)
Базы Вид ткани | Донецкая | Артемовская | Мариупольская | Дружковская |
Хлопчатобумажные | 120,8 | 110,0 | 185,7 | 84,2 |
Шерстяные | 41,3 | 13,0 | 60,0 | 18,4 |
Шелковые (натуральные) | 15,7 | 12,3 | ||
Шелковые (искусственные) | 21,8 | 12,0 | 40,0 | 15,0 |
Льняные | 13,2 | 16,0 | 32,3 | 20,0 |
Здесь мы имеем матрицу размерности .
|
|
Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов (порядок матрицы). Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом.
Если в матрице поменять местами строки и столбцы, то эта операция называется транспонированием.
.
Матрица, все элементы которой равны 0, называется нуль - матрицей.
Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь диагональные элементы, называется диагональной ( – диагональная матрица IV порядка).
.
Квадратная матрица называется единичной, если элементы главной диагонали равны 1, а все остальные – нули (это матрица ). Матрицы одной размерности считаются равными, если у них совпадают соответствующие элементы. Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие определитель. Если определитель матрицы равен 0, то она называется вырожденной, если определитель не равен 0, то матрица – невырожденная.