Проекция точки есть точка

Это очевидно из самого определения проекции как точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью.

2. Проекция прямой есть прямая (рис. 1.6)

Рис. 1.6. Инвариантные свойства 2, 3, 4

Все проецирующие прямые, проходящие через точки прямой а параллельно направлению проецирования S, образуют проецирующую, или лучевую, плоскость a.

Проекция прямой а на плоскость p₁ определяется как линия пересечения этой лучевой плоскости a с плоскостью p₁, т. е. прямая.

3. Если точка К принадлежит прямой а, то и проекция этой точки принадлежит проекции прямой (рис. 1.6)

Это свойство следует непосредственно из определения проекции геометрической фигуры как множества проекций всех точек.

Если точка К принадлежит прямой а и плоскости a, то и проецирующий луч l_К принадлежит плоскости a. Следовательно, этот луч пересечет плоскость p₁ в линии пересечения плоскостей a и p₁, т. е. в точке К₁, принадлежащей проекции прямой а₁.

4. Если точка К делит отрезок АD в отношении m: n то и проекция этой точки делит в таком же отношении проекцию этого отрезка (рис. 1.6):

Фигура ADD₁A₁ – трапеция. Прямая КК₁ параллельна основаниям трапеции АА₁ и DD₁, следовательно делит ее стороны АD и А1D1 на пропорциональные части.

5. Проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проекций этих прямых (рис. 1.7)

Рис. 1.7. Пример инвариантного свойства 5

Действительно, точка К принадлежит одновременно прямым АВ и CD. По третьему инвариантному свойству проекция этой точки К1 должна принадлежать проекциям этих прямых, т. е. должна являться точкой пересечения этих проекций.

6. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 1.8)

Лучевые плоскости a и b, проходят через параллельные прямые АВ и CD. Они параллельны, т.к. две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (АВ½÷ CD и АА₁÷÷ СС₁). Но две параллельные плоскости пересекаются с третьей по параллельным прямым, следовательно, А₁В₁÷÷ С₁D₁.