Сполуками із різних елементів по називають множини складені із різних елементів взятих із , які розрізняються хоча б одним елементом (склад відіграє роль, а порядок ні): .
23. Сполуки з повтореннями: число різних сполук із різних елементів по обчислюється за формулою:
24. Бином Ньютона. Это формула, представляющая выражение (a + b) n при положительном целом n в виде многочлена:
Заметим, что сумма показателей степеней для a и b постоянна и равна n.
П р и м е р 1.
Трикутник Паскаля.
Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.
Правило Паскаля стверджує: якщо
|
|
k -й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y) n, тоді
для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n
Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.
Правило Паскаля стверджує: якщо
k -й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y) n, тоді
для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n
25. JV-множиною Q називається множина, що містить N-елементів.
Нехай Аh А2, А„ - підмножини JV-множини Q. Позначи-
мо через А доповнення множини А{. А. = Q \ А і N(A) -
кількість елементів множини А. Має місце формула:
П
N(A\A2...An) = N-^ N{A\) + ^ N{AiAj) -
і=\ \<i<j<n
- ^N(AJA]Ak) +... + (-V)"N(AlA2...An) (1.2.1).
\<i<j<k<n
n
Наслідок. Візьмемо у формулі Q = [j4 і врахуємо, що
z=l
N = iV(fi) = N([J 4) та 4 ' Л • • A ={JA=0- Отримаємо формулу:
N({JAI) = ^TN(AI)- '^jN(AiAj)+ ^ІУ(44-Л)~
z=l z=l \<i<j<n \<i<j<k<n
-... + (-l)n'lN(Al-A\-...■ An) (1.2.2).
Це формули включень та виключень, або формули решета.