В некоторых случаях бывает удобно выразить булеву функцию только через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание.
Например, это удобно из-за того, что выражения с этими операциями удобно подставлять одно в другое.
Для вычисления СКНФ и СДНФ нам пригодится только что построенная таблица.
x | y | z | f | СДНФ | СКНФ | ||
Правило построения СДНФ: выбрать те и только те строки, в которых значение функции равно 1, затем в этих строках записать конъюнкцию x, y, z по следующему правилу:
Если соответствующая переменная равна 0, то пишем её с отрицанием, если она равна 1, то пишем без отрицания.
Например, во второй строке мы пишем , поскольку в соответствующей строке были значения x = 0, y = 0, z = 1.
СДНФ записывают как дизъюнкцию этих выражений. При этом иногда операцию конъюнкции не пишут, подобно тому как для умножения не пишут операцию умножения.
В итоге получаем: СДНФ = .
Построение СКНФ в некотором смысле двойственно к построению СКНФ.
Вместо строк со значением 1 берём строки со значением 0, вместо дизъюнкции – конъюнкция, а вместо конъюнкции дизъюнкцию.
И одно принципиальное отличие – там, где значение переменной равно 0, мы берём её без отрицания, а там, где это значение равно 1, берём с отрицанием. Сравните первую и третью строки, выражения в которых равны соответственно и .
Выражение для СКНФ можно получить, перемножив все эти дизъюнкции.
СКНФ = .
Следующее важное действие – упростить СДНФ.
Это можно сделать с помощью действий, аналогичных вынесению множителя за скобку.
Итак, упрощённая форма СДНФ в данном случае равна .
Показать логическую схему, причём написать, что для первоначальной записи потребовалось бы очень много элементов: импликация, эквивалентность, и так далее. А для СКНФ достаточно трёх элементов: И, ИЛИ и НЕ.
Привести пример составления схемы для СДНФ и для упрощённой ДНФ.
Но, как во многих задачах на упрощение, возникает вопрос: можно ли упростить выражение дальше? Точнее сказать – можно ли получить выражение, содержащее ещё меньше букв и равное данному?
Ответ даёт метод минимизирующих карт.
Для его применения составьте таблицу такого вида.
f | Значения переменных | x | y | z | xy | xz | yz | xyz |
z | ||||||||
y | ||||||||
y | z | yz | ||||||
x | ||||||||
x | z | xz | ||||||
x | y | xy | ||||||
x | y | z | xy | xz | yz | xyz |
Каждую переменную, x, y и z, мы снабжаем или не снабжаем отрицанием в соответствии со значениями переменных.
Например, если во втором столбце 001, то x и y с отрицаниями, а z – без отрицания.
А в остальных столбцах переменные сопровождаются отрицаниями в соответствии с третьим, четвёртым и пятым столбцами.
Теперь производим вычёркивание по следующему принципу.
Сначала вычёркиваем все строки, в которых значение функции равно нулю. В данном примере вычёркиваются строки с номерами 1, 3, 4 и 5.
Затем в каждом столбце, если элемент был один раз вычеркнут, он вычёркивается во всех оставшихся клетках столбца. Например, если во второй сверху клетке шестого столбца элемент был вычеркнут, то в третьей сверху клетке его также вычеркнем.
Теперь из оставшихся элементов, взяв по одному элементу из строки, составим самое короткое выражение.
В данном примере из второй и шестой строк имеет смысл взять два одинаковых выражения , а из седьмой и восьмой строк – два одинаковых выражения xy, поскольку при вычислении дизъюнкции получим: .
Рекомендуется сначала найти упрощённое выражение методом минимизирующих карт, а затем производить упрощение СДНФ алгебраическими преобразованиями.
Если преобразования дали такой же ответ, что и метод минимизирующих карт, это добавляет уверенности в ответе.
Если они дали ответ длиннее, то, возможно, вы не до конца использовали возможности упрощения.
А если преобразования дали ответ короче, чем метод минимизирующих карт, то такая ситуация теоретически противоречива: метод минимизирующих карт даёт самую короткую форму записи.
В качестве упражнения на булевы функции можно рассматривать вычисление функции , где f – функция от трёх переменных.
Задачу можно решать двумя способами.
Первый способ: найти значения выражений для всех значений пары x, y. Затем подставить полученные значения в функцию от трёх переменных.
Например: если x = y = 0, то (по таблице истинности для функции f).
Дополнительное условие для этой задачи: по таблице истинности необходимо определить формулу для полученной функции от двух переменных. Например, xy или x XOR y.
Второй способ: подставить в исходную формулу для функции (например, ) вместо переменной y выражение , а вместо переменной z выражение , затем упростить выражение.
Многочлен Жегалкина
Многочлен Жегалкина – это представление булевой функции в виде арифметического выражения, а точнее – в виде многочлена , причём значения переменных x, y, z и значения полученных выражений рассматриваются в кольце вычетов по модулю 2. При этом каждое чётное число заменяют 0, а каждое нечётное – 1.
Есть несколько способов вычисления этих коэффициентов, мы рассмотрим два способа.
Первый способ: метод неопределённых коэффициентов.
Подставим в многочлен все возможные наборы x, y, z и получим 8 условий на 8 коэффициентов. При этом матрица системы будет содержать много нулей.
Например, f (0, 0, 0) = a 0 = 0 (значение берём из таблицы истинности).
Далее, f (0, 0, 1) = a 0 + a 3 = 1, поэтому a 3 = 1. И так далее, на каждом уравнении будем получать новый коэффициент.
В итоге получим: a 3 = 1, a 12 = 1, a 23 = 1.
Тогда многочлен Жегалкина имеет вид: z + xy + yz.
Второй способ: использование СДНФ.
Как и следовало ожидать, ответ для второго способа вычисления многочлена Жегалкина совпал с ответом для первого способа.
Если эти ответы различаются, необходимо проверить выкладки.
В ответе с многочленом Жегалкина принято записывать слагаемые в лексикографическом порядке.
Двойственная функция
Определение. Пусть f – некоторая булева функция. Тогда двойственной к f (обозначается f*) называют функцию, таблица истинности которой получается из таблицы истинности f заменой всех 0 на 1, а всех 1 на 0.
Такую операцию называют инвертированием таблицы истинности.
Примечание.
Инвертирование происходит не только со значениями функции, но и со значениями x и y. Поэтому после построения таблицы её нужно будет «перевернуть», то есть переставить все строки в обратном порядке.
Посмотрим, например, что произойдёт с дизъюнкцией при такой замене.
x | y | |
После инвертирования таблицы
x | y | * |
Поскольку в таблице истинности записывают значения переменных в лексикографическом порядке, таблицу следует перевернуть.
x | y | * |
Из полученной таблицы видно, что значения функции, двойственной к конъюнкции, совпали со значениями дизъюнкции.
Следовательно, .
Аналогично можно обосновать такие равенства.