Если некоторая переменная х зависит от скалярного аргумента t и при каждом фиксированном значении последнего является случайной величиной, то переменную х(t) называют случайной функцией.
Если аргументом t у переменной x(t) является время, то такую случайную функцию называют случайным процессом. Например, угол тангажа летательного аппарата, движущегося в турбулентной атмосфере, является случайным процессом.
Если х —вектор, то зависимость x(t) —векторный случайный процесс. Например, движение центра масс летательного аппарата по траектории характеризуется шестимерным вектором x(t) = {х, у, z, Vx, Vy, Vz}. Если движение аппарата происходит при действии случайных факторов, то x(t) —векторный случайный процесс.
В отдельных опытах наблюдаются реализации xi(t), i-1, 2,... случайного процесса x(t); i — номер реализации.
Статистическое описание случайного процесса x(t) осуществляют, рассматривая множество случайных величин x1 = x(t1),..., xi= x(ti), соответствующих различным значениям времени t, взятым на рассматриваемом интервале его изменения . Считается, что произвольный случайный процесс x(t) описан полностью, если указан способ построения последовательности плотностей вероятности р(х, t); p(x 1, t; x2, t2);...; р(x1, t1;...; хп, tn) при , где .
|
|
Одномерная плотность р(х, t) позволяет определить вероятность попадания случайной величины x(t) в интервал :
С помощью двумерной совместной плотности определяют, с какой вероятностью две случайные величины х1 и х2 попадут в интервалы и , соответствующие моментам t1 и t2:
и так для любого п.
Для описания случайных процессов могут также использоваться условные плотности распределения вероятностей. Условная плотность вероятности характеризует распределение вероятностей случайной величины , реализации которой в момент прошли через точку . Аналогично условная плотность есть плотность распределения вероятностей случайной величины xn = x(tn), реализации которой в предшествующие моменты принимали фиксированные значения . С учетом формулы (1.7) справедливы следующие соотношения между совместными безусловными и условными распределениями:
Имеют место следующие предельные свойства безусловных и условных распределений:
где —дельта-функция в точке Х1.
В другом предельном случае
Классификацию случайных процессов осуществляют в зависимости от тех свойств, которыми обладают их совместные безусловные и условные распределения.
Абсолютно случайный процесс. Процесс x(t) называют абсолютно случайным, если случайные величины и независимы при сколь угодно малом . Учитывая (1.10), для такого процесса получим, что совместное n-мерное распределение при любом п. определяется соотношением
|
|
т. е. абсолютно случайный процесс полностью описывается его одномерным распределением р(х, I), известным для каждого t.
Марковский процесс. Зададим на интервале возможного изменения аргумента t случайного процесса x(t) временной ряд . Случайный процесс x(t) называют марковским, если для него справедливо соотношение для любых .
Для марковского процесса условная плотность вероятности случайной величины зависит только от того, каким было значение случайной величины и никак не зависит от того, каким были реализации данного процесса в предыдущие моменты . Плотность называют также переходной плотностью вероятности марковского процесса x(t). Для марковского процесса x(t), учитывая (1.34) и (1.40), имеем
Как видим, для исчерпывающего описания марковского случайного процесса достаточно задать его начальную одномерную плотность вероятности и переходные плотности .
Марковский процесс с независимыми приращениями. Случайный процесс x(t) называют процессом с независимыми приращениями, если для любых значений , выбранных на интервале , приращения , — независимые случайные величины. Процесс с независимыми приращениями - также марковский, так как значение случайной величины x(ti) в конце каждого интервала определяется предыдущим значением и приращением на этом интервале, не зависящим от приращений на предшествующих интервалах.
Гауссовский случайный процесс. Случайный процесс x(t), у которого совместная n-мерная плотность вероятности при любом п и любых является гауссовской, называется гауссовским случайным процессом.