Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки , которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:
На самом деле это разновидность предыдущего способа, смотрим на картинку:
Если известны три различные точки, не лежащие на одной прямой, то легко найти два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости:
Пример
Составить уравнение плоскости по точкам .
Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам. Используем формулу:
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
Больше ничего упростить нельзя, записываем:
Ответ:
Пример
Уравнение плоскости
в отрезках
Преобразуем полное общее уравнение плоскости:
Где , и будут отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.
Рис.
Построить плоскость
Решение: сначала составим уравнение плоскости в отрезках. Перебросим свободный член направо и разделим обе части на 12:
Делаем дроби трёхэтажными:
Именно так! – ведь знаменатели могут оказаться и дробными. Но в данном случае всё разделилось нацело:
|
|
Таким образом, плоскость проходит через точки . В целях самоконтроля координаты каждой точки устно подставим в исходное уравнение . После чего выполним чертёж:
Задача 6.
Приведенная ниже формула площади используется в задачах когда вершины треугольника заданы на плоскости координатами . В этом случае площадь равна половине определителя взятого по модулю.
Найти площадь пятиугольника, изображенного на рисунке.
Решение. Имеем: .