11.2.1. Математичне сподівання (середнє значення) – основна і найпростіша характеристика випадкової величини X. Значення математичного сподівання, що визначається за результатами спостережень, для дискретних і безперервних величин називають оцінкою математичного сподівання, або оцінкою середнього значення :
, або ,
де хі – поточне значення випадкової величини; gi – кількість однакових значень хі; N – загальна кількість спостережень.
У першій формулі складають усі N членів, у другій – кількість членів з різними значеннями хі. За досить великої кількості спостережень вважають, що mx = . В імовірнісних задачах математичне сподівання визначають залежно від щільності розподілу f(x) (для безперервних величин) або ймовірності pі появи значення хі (для дискретних величин):
; .
11.2.2. Мода – значення випадкової величини, що трапляється найчастіше, або найбільш імовірне її значення.
11.2.3. Квантиль– значення випадкової величини, що відповідає заданій імовірності. Квантиль, що відповідає імовірності 0,5, називають медіаною.
|
|
11.2.4. Медіанає центром групування випадкової величини. Площу під графіком медіана поділяє навпіл.
Для нормального закону розподілу випадкових величин, який описує відома крива Гаусса, математичне сподівання, мода і медіана збігаються.
11.2.5. Дисперсія випадкової величини – це математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання.
Оцінка дисперсії випадкової величини – середнє значення квадрата різниці між значеннями випадкової величини та її середнім значенням:
, або ,
де N – загальна кількість спостережень; хі – поточне значення випадкової величини; – середнє значення випадкової величини; gi – кількість однакових значень випадкової величини.
Поняття “дисперсія ” означає розсіювання і характеризує розбіжність випадкової величини.
Для безперервних випадкових величин
.
Для дискретних випадкових величин
,
де pі – імовірність появи значення .
Дисперсія вимірюється квадратом розмірності випадкової величини. Оскільки зручніше користуватися характеристикою розсіювання, що має розмірність випадкової величини, введено характеристику середнє квадратичне відхилення, тобто квадратний корінь з дисперсії:
.
Для оцінювання розсіювання випадкових величин за допомогою безрозмірної (відносної) характеристики використовують коефіцієнт варіації,що дорівнює відношенню середнього квадратичного відхилення до математичного сподівання:
.
Порядок виконання
1. Відповідно до табличних даних, визначених в табл. 10.2. розрахувати математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.
|
|
2. Для визначених в практичному занятті 10 закону розподілу побудувати графічні залежності , , .
3. Для самостійної роботи рекомендується додатково вирішити задачі, наведені в додатку 11 в таблиці Д.11.1.
Приклад виконання.
Розрахуємо математичні характеристики закону розподілу закону розподілу (практична робота 10) з врахуванням даних табл. 10.1
Математичне сподівання оцінюємо за формулою
Дисперсію оцінюємо за формулою
Середньоквадратичне відхилення
.
Коефіцієнт варіації
.
За результатами розрахунків, наведених в табл.10.1 будуємо графічні залежності показників надійності колінчастого вала холодильного компресора.
Рис. 11.1. Показники надійності колінчастого вала холодильного компресора: – імовірність безвідмовної роботи; – імовірність відмови; – функція щільності розподілу випадкової величини
11.4. Контрольні запитання
1) Як розраховується математичне сподівання та його зв'язок з оцінкою середнього значення .
2) Що таке дисперсія і що вона означає?
3) Яка особливість розрахунку дисперсії для безперервних та дискретних величин?
4) З якою метою вводиться показник середнього квадратичного відхилення?
5) Як пов’язані між собою характеристики графічних залежностей P(t) та F(t).