Элементарные тригонометрические уравнения

Содержание

 

ВВЕДЕНИЕ

1.ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫВОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1.1 Элементарные тригонометрические уравнения

1.2 Введение вспомогательного аргумента

1.3 Схема решения тригонометрических уравнений

1.4 Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений

1.5 Разложение на множители

1.6 Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

1.7 Решение уравнений с применением формул понижения степени

1.8 Решение уравнений с применением формул тройного аргумента

1.9 Равенство одноименных тригонометрических функций

1.10 Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

1.11 Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

ВВЕДЕНИЕ

 

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом «исчисление хорд». Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических - бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

Данный реферат посвящен методам вывода тригонометрических уравнений.

 

1. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫВОДА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

 

Элементарные тригонометрические уравнения

 

Элементарные тригонометрические уравнения - это уравнения вида , где - одна из тригонометрических функций: , , , .

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: , , , и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения , где , такова:

 

 

Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) называют параметром. Записывают обычно , подчеркивая тем самым, что параметр принимать любые целые значения.

Решения уравнения , где , находятся по формуле

 

 

Уравнение решается применяя формулу

 

а уравнение - по формуле

 

 

Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

 

 

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема Если - основной период функции , то число является основным периодом функции .

Периоды функций и называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа и , что .

Теорема Если периодические функции и , имеют соизмеримые и , то они имеют общий период , который является периодом функций , , .

В теореме говорится о том, что является периодом функции , , , и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций и --- , а основной период их произведения - .