По выполнению контрольной работы
Задание №1
Вычислить дифференциал функции: f(x) = 2tgx
Решение:
По правилу дифференцирования сложной функции
Y’=2tgx*ln2*(tgx)’=2tgx*ln2*(1/cos2x)
Ответ:
dy =y’dx=2tgx*ln2*(1/cos2x)dx
Задание №2
Вычислить приближенное значение:
Решение:
f(0,988)≈f(1)+dy;
y= , dx=∆x=0,988-1=-0,012;
y’=(x1/3)’=1/3*x-2/3;
y’(1)=1/3, dy=1/3*(-0,012)=-0,004;
y(1)=(1)1/3=1
Ответ:
≈1-0,004=0,996
Задание №3
Найти приближенное значение функции: f(x) = x3 +x2 -2x при x=2,01
Решение:
dx=∆x=2,01-2=0,01;
f(x+∆x) ≈f(x)+dy;
f(2,01) ≈ f(2)+dy.
Найдем значение функции при x=2: f(2)=8
dy =y’dx
y’= 3x2 +2x -2, y’(2)=14
dy =14*0,01=0,14
Ответ:
f(2,01) ≈8+0,14=8,14
Задание №4
Найти интегралы: ;
Решение:
Задание №5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=6x-x2 -5 и осью Ox.
Решение:
Найдем приделы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функции y=6x-x2 -5 и y=0.
Решим систему:
Имеем x1=1,x2=5.
Найдем искомую площадь по формуле
Ответ:
S=10,67
Задание №6
Скорость прямолинейного движущегося тела равна V=4t-t2 в м/с.
Вычислить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.
|
|
Решение:
В момент остановки скорость движения тела равна нулю.
4t-t2=0, t1=0, t2=4.
Тело остановилось через 4 с.
Путь пройденный телом за это время, вычисляем по формуле
м.
Ответ:
S=10,67
Задание №7
Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
y*y’=x,y(-2)=4
Решение:
y*y’=x
y*dy=x*dx
Y2=x2+c общее решение дифференциального уравнения;
Подставим в общее решение значения x=-2 и y=4 получим с=12.
Частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид: Y2=x2+12
Ответ:
Y2=x2+c, Y2=x2+12
Задание №8
Исследовать сходимость ряда:
Решение:
Имеем Un=10n/n!? Un+1=10n+1/(n+1)!, Un+1 /Un=10/(n+1)
По признаку Даламбера
D= Lim10/(n+1)=0 при n→∞ D<1-ряд сходится.
Ответ:
-ряд сходится.
Задание №9
В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара-белых?
Решение:
А- оба шара белых
Число всех случаев n=C210=45
Число благоприятствующих событий А? M=C26=15
P(A)=15/45=1/3
Ответ:
P(A)=1/3
]
Задание №10
Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не более k раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна: n=5,k=4, p=,8
Решение:
Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли:
, где
число сочетаний из п элементов по k, q=1-p. В рассматриваемом случае:
а) вероятность появления события ровно 4 раза в 5 испытаниях:
б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5 испытаниях:
в) вероятность появления события не более 4 раз в 5 испытаниях:
|
|
Варианты контрольных заданий
Вариант №1
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = 2x(x2 + 1)
2. Вычислить приближенное значение:
3. Найти приближенное значение функции: f(x) = x2 – 2x + 11 при x=3,04
4. Найти интегралы: ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y=x2, y=x5
6. Тело движется прямолинейно с ускорением a(t) = 6t - 4. При t = 0 начальный путь s = 0, начальная скорость v = 4. Найти скорость и путь как функции времени.
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
а) y’ + 2/3 x = 0 y (1) = -1 в) y” = 13 x3 – 5x2 y (1) = 1; y’ (1) = 2
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
2х1 – 4х2 + 3х3 = 1
х1 – 2х2 + 4х3 = 3
3х1 – х2 + 5х3 = 2
9. Игральную кость бросают два раза. Найти вероятность того, что оба раза выпадет “6” очков.
10. В группе 3 спортсмена. Вероятность того: что в течение сезона спортсмен не сохранит формы, равна 0,1. Пусть Х - число спортсменов, вышедших из формы в течение сезона. Записать закон распределения случайной величины Х.
Вариант №2
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = ex(x + 1)
2. Вычислить приближенное значение: (8,025)2/3.
3. Найти приближенное значение функции: f(x) = x2 – 7x + 4 при x=2,04
4. Найти интегралы: ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2, y=
6. Тело движется прямолинейно с ускорением a(t) = 8t - 2. При t = 0 начальный путь s = 0, начальная скорость v = 3. Найти скорость и путь как функции времени.
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
а)y” – 14 y’ + 45 y = 0 y (0) = 2; y’ (0) = 14
б)y’ + 2y/ (x + 1) = (x + 1)3 y (0) = 2
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
4х1 – 3х2 = 5
5х1 + 4х3 = 7
2х1 + х2 + 2х3 = 8
9. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; n=5, k=4, p=0,8
10. В партии 2 изделия. Вероятность того, что данное изделие не соответствует стандарту, равна 0,5. Записать закон распределения случайной величины Х, если Х - число нестандартных изделий.
Вариант №3
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = x2sin 4x.
2. Вычислить приближенное значение:
3. Найти приближенное значение функции f(x) = 0,25 x4 – 6x + 2. при x=2,78
4. Найти интегралы: ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2, y=x3/3
6. Тело движется прямолинейно с ускорением a(t) = 6t - 4. При t = 0 начальный путь s = 0, начальная скорость v = 6. Найти скорость и путь как функции времени.
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
а) y” – 11 y’ + 24 y = 0 y (0) = 2; y’ (0) = 11
б) y’ + (5/x)* y = 5, y (1) = 2
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
2х1 + х2 - х3 = - 4
-х1 – 2х2 + 2х3 = 14
4х1 + 2х2 + х3 = 7
9. Имеется 3 класса. В 1 классе учатся 10 девочек и 21 мальчик, во 2 – 15 девочек и 14 мальчиков, в 3 – 16 девочек и 16 мальчиков. В выбранном наугад классе вызывают одного ученика. Определить вероятность того, что он мальчик
10. В проигрывателе 2 батарейки. Вероятность того, что в течение года заряд батарейки закончится, равна для каждой батарейки 1/20. Пусть Х - число батареек, вышедших из строя в течение года. Записать закон распределения случайной величины Х.
Вариант №4
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = x6*cos(4x2 - x)
2. Вычислить приближенное значение: (8,02)1/3.
3. Найти приближенное значение функции f(x) = x2 + 2 при x=5,03
4. Найти интегралы: ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2+1, y=x+1
6. Тело движется прямолинейно с ускорением a(t) = 12t - 4. При t = 0 начальный путь s = 0, начальная скорость v = 5. Найти скорость и путь как функции времени.
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
|
|
а) y’ + 2/3 x = 0, y (1) = -1
б) y” = 13 x3 – 5x2 y (0) = 1; y’ (0) = 2
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
2х1 - х3 = 1
2х1 + 4х2 - х3 = 1
-х1 + 8х2 + 3х3 = 2
9. Имеется два ящика с деталями. В 1 ящике – 50 стандартных и 15 бракованных деталей, во 2 – 42 стандартных и 18 бракованных деталей. Из выбранного наугад ящика вынимают бракованную деталь. Определить вероятность того, что она взята из 1 ящика.
10. В люстре 3 электрические лампочки. Вероятность выхода из строя в течение месяца для каждой лампочки составляет 0,3. Пусть Х - число лампочек, сгоревших в течение месяца. Записать закон распределения случайной величины Х.
Вариант №5
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = tg(x2 – 6х + 5).
2. Вычислить приближенное значение: 42,01, ln 4 = 1,3.
3. Найти приближенное значение функции: f(x) = 3x2 + 5 при x=1,08
4. Найти интегралы: ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y2=4x, x2=4y
6. Ускорение тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону a(t) = 12t – 1. Найти закон движения тела, если в момент времени t = 2 c, его v = 8 м/с, путь s = 6 м.
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
а) y’ + sinx = 0, y (п/4) = -1
б) y” = x3 – 5x2 y (0) = 1; y’ (0) = 2
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
х1 + х2 - х3 = 2
-2х1 + х2 + х3 = 3
х1 + х2 + х3 = 6
9. Из колоды (36 карт) вынимают наугад три карты. Найти вероятность того, что все три карты окажутся тузами.
10. Гараж имеет 3 автобуса. Вероятность того, что автобус не выйдет на маршрут, равна для каждого автобуса 1/8. Пусть Х - число автобусов, вышедших на маршрут. Записать закон распределения случайной величины Х.
Вариант №6
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = 2x(x2 + 1)
2. Вычислить приближенное значение:
3. Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
4. Найти скорость и ускорение в момент времени t= 2c, если тело движется прямолинейно по закону S= 1/3t3 + 4t2 + 5t – 1
5. Найти интегралы: dx;
|
|
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2-3, y=-2x
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
а) y” + sin x = 0, y’ (0) = 1, y(0)=1
в) y” – 14 y’ + 45 y = 0 y (0) = 2; y’ (0) = 14
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
3х1 + 4х2 - 3х3 = - 4
-5х1 + 5х2 = 5
3х1 + х2 - 4х3 = -16
9. Найти вероятность того, что наугад выбранное число от 1 до 30 делится на 4 без остатка.
10. В группе 5 спортсмена. Вероятность того: что в течение сезона спортсмен не сохранит формы, равна 0,1. Пусть Х - число спортсменов, вышедших из формы в течение сезона. Записать закон распределения случайной величины Х.
Вариант №7
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = ex(x3 + 1)
2. Вычислить приближенное значение: (8,025)2/3.
3. Тело движется по закону s(t) = t2 – 6t + 1. Найти момент времени, при котором скорость движения тела равна 2 м/с. Вычислить ускорение в этот момент времени.
4. Найти интегралы: ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2, y=
6. Тело движется прямолинейно с ускорением a(t) = 8t - 2. При t = 0 начальный путь s = 0, начальная скорость v = 3. Найти скорость и путь как функции времени.
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
а)y” – 14 y’ + 45 y = 0 y (0) = 2; y’ (0) = 14
б)y’ + 2y/ (x + 1) = (x + 1)3 y (0) = 2
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
-2х1 + х2 + 7х3 = 1
3х1 – 3х2 + 8х3 = 20
5х1 + 4х2 - х3 = 1
9. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; n=5, k=4, p=0,8
10. В партии 2 изделия. Вероятность того, что данное изделие не соответствует стандарту, равна 0,5. Записать закон распределения случайной величины Х, если Х - число нестандартных изделий.
Вариант №8
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = x2sin 4x.
2. Вычислить приближенное значение:
3. Найти приближенное значение функции f(x) = 0,25 x4 – 6x + 2. при x=2,78
4. Найти интегралы: ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2, y=x3/3
6. Тело движется прямолинейно с ускорением a(t) = 6t - 4. При t = 0 начальный путь s = 0, начальная скорость v = 6. Найти скорость и путь как функции времени.
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
а) y” – 11 y’ + 24 y = 0 y (0) = 2; y’ (0) = 11
б) y’ + 5/x * y = 5 y (1) = 2
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
х1 + 3х2 + 5х3 = - 4
2х2 = 2
5х1 + 7х2 + 9х3 = -12
9. Имеется 3 класса. В 1 классе учатся 15 девочек и 11 мальчик, во 2 – 15 девочек и 14 мальчиков, в 3 – 17 девочек и 18 мальчиков. В выбранном наугад классе вызывают одного ученика. Определить вероятность того, что он мальчик
10. В проигрывателе 4 батарейки. Вероятность того, что в течение года заряд батарейки закончится, равна для каждой батарейки 1/15. Пусть Х - число батареек, вышедших из строя в течение года.
Записать закон распределения случайной величины Х.
Вариант №9
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = x 5 *cos(4x2 - x)
2. Вычислить приближенное значение: (8,02)1/3.
3. Найти приближенное значение функции f(x) = x2 + 2 при x=5,03
4. Найти интегралы: ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2+1, y=x+1
6. Тело движется прямолинейно с ускорением a(t) = 12t - 4. При t = 0 начальный путь s = 0, начальная скорость v = 5. Найти скорость и путь как функции времени.
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
а) y’ + 2/3 x = 0, y (1) = -1
б) y” = 13 x3 – 5x2 y (0) = 1; y’ (0) = 2
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
2х1 + х2 = 3
4х1 + 3х2 - 3х3 = 2
-6х1 + 5х2 + 7х3 = 5
9. Найти вероятность того, что при семикратном подбрасывании игральной кости 4 раза выпадет "3" очка
10. В люстре 4 электрические лампочки. Вероятность выхода из строя в течение месяца для каждой лампочки составляет 0,3. Пусть Х - число лампочек, сгоревших в течение месяца.
Записать закон распределения случайной величины Х.
Вариант №10
1. Вычислить дифференциал функции: f(x) = tg(x2 – 6х + 5).
2. Вычислить приближенное значение: 43,01, ln 4 = 1,3.
3. Найти уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
4. Найти интегралы: ;
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y2=4x, x2=4y
6. Ускорение тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону a(t) = 12t – 1. Найти закон движения тела, если в момент времени t = 2 c, его v = 8 м/с, путь s = 6 м.
7. Решить дифференциальные уравнения. Найти общее и частное решение.
а) y’ + cosx = 0, y (п/4) = -1
б) y” = x3 – 5x2 y (0) = 1; y’ (0) = 2
8. Решить систему уравнений
а) по формуле Крамера б) матричным способом в) методом Гаусса
3х1 – 5х2 + 2х3 = 8
4х1 + 5х2 + х3 = -16
-3х1 - 4х3 = 17
9. Из колоды (36 карт) вынимают наугад три карты. Найти вероятность того, что все три карты окажутся тузами.
10. Гараж имеет 3 автобуса. Вероятность того, что автобус не выйдет на маршрут, равна для каждого автобуса 1/8. Пусть Х - число автобусов, вышедших на маршрут.
Записать закон распределения случайной величины Х.