Последовательности и закономерности

 

1. Запишите вместо звездочки недостающее число 1, 4, 13, 40, 121, *, 1093. Ответ объясните.

Ответ: 364.

Решение 1. Каждый следующий элемент последовательности равен сумме 1 и утроенного предыдущего элемента. Поэтому вместо звездочки стоит число 3*121+1=364.

Решение 2. Разности между соседними элементами соответственно равны 3, 9, 27, 81 – это степени тройки. Значит, вместо звездочки стоит число 121+243=364.

2. С записанным на доске числом 2017 проделывают следующие действия: складывают все его цифры, затем умножают полученную сумму на 7 и записывают полученное произведение вместо числа на доске. Затем снова складывают все цифры записанного на доске числа, умножают полученную сумму на 7 и записывают полученное произведение вместо числа на доске. Эту процедуру повторяют 100 раз. Какое в итоге число образуется на доске? Ответ обоснуйте.

Решение. 2017-70-49-91-70-49-91-70… Период равен 3. На 100-й раз будет число 70. Ответ: 70.

3. А) Найдите последнюю цифру числа . Ответ поясните.

Б) Найдите предпоследнюю цифру числа . Ответ поясните.

Решение. А) 9 в любой нечетной степени оканчивается на 9, а в четной – на 1. Б) Закономерность 3 – 9 – 27 – 81 – 43 – 29 – 87 – 61 – 83 – 49 – 47 – 41 – 23 – 69 – 07 – 21 – 63 – 89 – 67 – 01 – 03 - … период равен 20. Число 3^2017 оканчивается на туже цифру, что и 3^17, то есть на 63. Ответ: А) 9, Б) 63.

4. Последовательность чисел задана рекуррентной формулой . Известно, что – простое число. Может ли быть простым числом? Ответ поясните.

Решение. Последовательно вычисляя, находим, что , то есть данная последовательность имеет период, равный 6. Значит, . Следовательно, является простым числом, как и .

5. Изначально в коробке 17 красных шариков, 20 белых, 7 синих и 201 фиолетовый шарик. Разрешается брать из горстки два красных шарика и взамен положить в нее 5 белых, или взять один белый и взамен положить 7 синих, или взять десять синих и положить 7 фиолетовых. Можно ли довести число шариков в коробке до 2017?

Ответ: нет, так как разные остатки при делении на 3.

 

Делимость

6. Число x при делении на 7 дает остаток 5. Какой остаток при делении на 7 дает число ?

Решение. Число х имеет вид x=7n+5. Тогда 20x+17=20(7n+5)+17 = 140n+100+17=7*(20n + 16) + 5. Ответ: 5.

7. Сумма трех последовательных натуральных чисел делится на 2017. Найдите наименьшие такие числа.

Решение. Обозначит числа x, x+1, x+2. Тогда x+x+1+x+2 делится на 2017, или 3x+3 делится на 2017 или 3(x+1) делится на 2017. Так как 3 и 2017 взаимно просты, то x+1 делится на 2017. Наименьшее натуральное x с таким свойством равно 2016. Ответ: 2016, 2017, 2018.

8. Известно, что n – натуральное число. Докажите, что число всегда делится на 6.

Решение. Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и 3. Очевидно делится на 2. Докажем делимость на 3 с помощью таблицы остатков:

 

9. Известно, что натуральное число не превосходит 6 , и число кратно 3. Найдите количество таких n.

Решение. Найдем период повторяемости остатков при делении числа на 3:

n
	2-1=1	4-4=0		16-16=0	32-25 1	64-36 1	128-49 1	256-64 0	512-81 2

Период больше или равен 6. Равенство периода 6 следует из следующих двух фактов:

А) остатки при делении степеней двойки на 3 повторяются через один:

n

 

Б) при делении квадрата целого числа на 3, имеют место следующие остатки:

n

Итак, период повторяемости остатков при делении числа на 3 равен 6. Из таблицы

n
	2-1=1	4-4=0		16-16=0	32-25 1	64-36 1	128-49 1	256-64 0	512-81 2

видно, что за длину периода остаток 0 повторяется дважды. Значит, при изменении n от 1 до 6000, число поделится на 3 ровно 2000 раз. Ответ: 2000.

10. Может ли сумма некоторых пяти последовательных целых чисел иметь вид ?

Решение. Известно, что сумма любых пяти последовательных целых чисел делится на 5. Покажем, что число вида не поделится на 5 ни при каком n. Воспользуемся таблицей остатков

n

Таким образом, число не делится на 5 ни при каком n. Следовательно, оно не может быть суммой 5 последовательных целых чисел.