2017-12-14
1145
Модель – это материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные свойства.
Хорошо построенная модель доступнее для исследования – нежели реальный объект. Например, недопустимы эксперименты с экономикой страны в познавательных целях, здесь без модели не обойтись.
Резюмируя сказанное можно ответить на вопрос: для чего нужны модели? Для того, чтобы
понять, как устроен объект (его структура, свойства, законы развития, взаимодействия с окружающим миром).
научиться управлять объектом (процессом) и определять наилучшие стратегии
прогнозировать последствия воздействия на объект.
Что положительного в любой модели? Она позволяет получить новые знания об объекте, но, к сожалению, в той или иной степени не полна.
Модель сформулированная на языке математики с использованием математических методов называется математической моделью.
Исходным пунктом ее построения обычно является некоторая задача, например экономическая. Широко распространены, как дескриптивные, так и оптимизационные математические, характеризующие различные экономические процессы и явления, например:
распределение ресурсов
рациональный раскрой
транспортные перевозки
укрупнение предприятий
сетевое планирование.
Каким образом происходит построение математической модели?
Во–первых, формулируется цель и предмет исследования.
Во–вторых, выделяются наиболее важные характеристики, соответствующие данной цели.
В–третьих, словесно описываются взаимосвязи между элементами модели.
Далее взаимосвязь формализуется.
И производится расчет по математической модели и анализ полученного решения.
Используя данный алгоритм можно решить любую оптимизационную задачу, в том числе и многокритериальную, т.е. ту в которой преследуется не одна, а несколько целей, в том числе противоречивых.
Приведем пример. Теория массового обслуживания – проблема образования очередей. Нужно уравновесить два фактора – затраты на содержание обслуживающих устройств и затраты на пребывание в очереди. Построив формальное описание модели производят расчеты, используя аналитические и вычислительные методы. Если модель хороша, то ответы найденные с ее помощью адекватны моделирующей системе, если плоха, то подлежит улучшению и замене. Критерием адекватности служит практика.
Оптимизационные модели, в том числе многокритериальные, имеют общее свойство– известна цель(или несколько целей) для достижения которой часто приходится иметь дело со сложными системами, где речь идет не столько о решении оптимизационных задач, сколько об исследовании и прогнозировании состояний в зависимости от избираемых стратегий управления. И здесь мы сталкиваемся с трудностями реализации прежнего плана. Они состоят в следующем:
сложная система содержит много связей между элементами
реальная система подвергается влиянию случайных факторов, учет их аналитическим путем невозможен
возможность сопоставления оригинала с моделью существует лишь в начале и после применения математического аппарата, т.к. промежуточные результаты могут не иметь аналогов в реальной системе.
В связи с перечисленными трудностями, возникающими при изучении сложных систем, практика потребовала более гибкий метод, и он появился – имитационное моделирование "Simujationmodeling".
Обычно под имитационной моделью понимается комплекс программ для ЭВМ, описывающий функционирование отдельных блоков систем и правил взаимодействия между ними. Использование случайных величин делает необходимым многократное проведение экспериментов с имитационной системой (на ЭВМ) и последующий статистический анализ полученных результатов. Весьма распространенным примером использования имитационных моделей является решение задачи массового обслуживания методом МОНТЕ–КАРЛО.
Таким образом, работа с имитационной системой представляет собой эксперимент, осуществляемый на ЭВМ. В чем же заключаются преимущества?
–Большая близость к реальной системе, чем у математических моделей;
–Блочный принцип дает возможность верифицировать каждый блок до его включения в общую систему;
–Использование зависимостей более сложного характера, не описываемых простыми математическими соотношениями.
Перечисленные достоинства определяют недостатки
–построить имитационную модель дольше, труднее и дороже;
–для работы с имитационной системой необходимо наличие подходящей по классу ЭВМ;
–взаимодействие пользователя и имитационной модели (интерфейс) должно быть не слишком сложным, удобным и хорошо известным;
–построение имитационной модели требует более глубокого изучения реального процесса, нежели математическое моделирование.
Встает вопрос: может ли имитационное моделирование заменить методы оптимизации? Нет, но удобно дополняет их. Имитационная модель – это программа, реализующая некоторый алгоритм, для оптимизации управления которым прежде решается оптимизационная задача.
Итак, ни ЭВМ, ни математическая модель, ни алгоритм для ее исследования порознь не могут решить достаточно сложную задачу. Но вместе они представляют ту силу, которая позволяет познавать окружающий мир, управлять им в интересах человека.
12. Абстрагирование в математике. Понятие математического абстрагирования.
По сравнению с естествознанием в математике процесс абстрагирования идет значительно дальше. В известном смысле справедливо утверждать, что там, где естествоиспытатель останавливается, математическое исследование только начинается. Лучше всего это можно проиллюстрировать на примере геометрии. Хорошо известно, что пространственные свойства материальных тел не существуют обособленно от самих тел. Они всецело определяются внутренними и внешними связями тел, но для лучшего понимания пространственных свойств исследователь вынужден временно абстрагироваться от всех их других свойств, кроме геометрических. Понятие геометрического тела представляет крайне односторонний снимок с действительности. Уже понятие физического тела представляет абстракцию, так как здесь отвлекаются от всех нефизических свойств. В понятии же геометрического тела отвлекаются и от физических свойств и сохраняют лишь его пространственные свойства. Естественно поэтому, что в теоретической физике наряду с широким применением математических понятий главное значение имеют специфические для этой науки физические понятия. В некоторых разделах механики, например, в кинематике, физическая абстракция почти приближается к математической, поскольку материальное тело в известных условиях (малость размеров в сравнении с расстоянием между телами) отождествляется с материальной точкой. Но уже в пределах кинематики встречаются с такими специфическими физическими характеристиками тела, как его скорость, ускорение и т. п.
Вторая важнейшая особенность математической абстракции состоит в том, что абстрагирование здесь чаще всего осуществляется через ряд последовательных ступеней обобщения. Поэтому в математике преобладают абстракции от абстракций. В простейшей форме этот процесс встречался при выяснении происхождения понятия числа. Первоначально понятие числа еще не отделяется от сосчитываемых совокупностей и поэтому выступает как именованное число. Впоследствии оно освобождается от этой конкретности и выступает как отвлеченное понятие.
Эти две ступени абстракции мало чем отличаются от соответствующих абстракций естествознания. Но в математике отвлечение идет дальше. Если на втором этапе с понятием числа связывались еще конкретные отвлеченные числа, как, например, 1, 2... 15...100 и т. д., то на третьем этапе абстрагируются также и от конкретного значения числа. На этой основе и возникло понятие о любом возможном натуральном число, к которому пришли еще древние греки. Оперирование с таким понятием имело чрезвычайно большое значение для математики, так как оно давало возможность отвлекаться от конкретных чисел и обеспечивало возможность доказывать теоремы в общем виде.
Еще более отчетливо аналогичные этапы абстрагирования можно выделить в развитии такого фундаментального понятия всей математики, каким является функция. К самому понятию функциональной зависимости ученые пришли из рассмотрения конкретных взаимосвязей между различными величинами, которые встречаются в самых разнообразных задачах естествознания и техники. По сути дела, большинство законов точного естествознания выражает функциональную связь различных величин.
В математике изучаются различные виды функций (целые, рациональные, логарифмические, тригонометрические и т. д.). Чтобы иметь возможность рассуждать о любых функциях, исследователь должен отвлечься от конкретных особенностей вышеперечисленных и других функций и ввести абстрактное понятие функции вообще. Это будет уже следующий этап абстрагирования. Дальнейший этап связан с образованием понятия функционала, который служит естественным обобщением функции и содержит его как частный случай.
Число таких примеров можно было бы легко увеличить. Достаточно напомнить процесс обобщения таких понятий, как абстрактное математическое пространство, интеграл, группа и другие, чтобы убедиться в том, что процесс обобщения в математике, как правило, проходит ряд ступеней абстракции, каждая из которых сопровождается расширением объема соответствующего понятия.
Во всей истории математики можно выделить три больших исторических этапа в развитии ее абстракций. На первом этапе, связанном с возникновением арифметики и геометрии, отвлекаются от конкретной, качественной природы объектов. На втором этапе, когда вводится буквенная символика и происходит переход к алгебре, стали отвлекаться уже от конкретных чисел и величин. Наконец, на третьем этапе, связанном с переходом к современной математике, стали отвлекаться не только от конкретной природы объектов, но и от конкретных зависимостей между ними. Так, например, под операцией умножения теперь понимают не только умножение чисел, но и векторов, множеств каких-либо объектов («пересечение» множеств) и даже предложений (в математической логике). Таким образом, переменными здесь становятся не только объекты исследования, но и сами операции над ними.
Третья особенность математической абстракции состоит в значительном использовании так называемых идеальных объектов. Уже «точка», «прямая», «плоскость» Евклидовой геометрии представляют идеальные объекты, так как образуются посредством идеализации. Если же идеализацию понимать несколько шире, а именно как процесс образования таких понятий, которые или выражают свойства реальных объектов в искаженном виде, или приписывают им свойства, отсутствующие у них, тогда можно будет с известным основанием утверждать, что непосредственным объектом исследования математики являются именно абстрактные, или идеальные, математические объекты. Разумеется, что эти объекты не плод чистой фантазии. Они, как и вся математика в целом, служат для познания действительности. Но математика оперирует ими именно как идеальными объектами.
По существу, такими же идеальными объектами являются понятия математической бесконечности потенциальной и актуальной. При образовании этих понятий приходится прибегать к различным абстракциям осуществимости. Использование различных абстракций осуществимости составляет четвертую важную особенность математического познания. В частности, эти абстракции осуществимости ведут к разным понятиям бесконечности, которые в свою очередь порождают различные философские направления, такие как интуиционизм, конструктивизм и т. д., о чем подробнее будет сказано ниже.
Пятая важная особенность, непосредственно связанная с предыдущими, состоит в том, что многие системы абстракций в математике, возникнув на базе опыта и практики или даже в процессе чисто логического развития теории, не требуют в дальнейшем обращения к опыту. Действительно, в математике повсюду оперируют одними лишь абстракциями, т. е. обращаемся прежде всего к логике, а не к эксперименту, как это часто имеет место в естествознании.
13. Виды математических абстракций: абстракция отождествления, идеализации, абстракции осуществимости.
В научном познании различают несколько видов абстрагирования, простейшим из которых является абстракция отождествления, когда у предметов некоторого класса выделяется определенное общее свойство, а от всех других свойств отвлекаются. Относительно выделенного общего свойства все предметы соответствующего класса являются тождественными, и поэтому оно может быть абстрагировано, или отделено от других свойств. В результате этого образуются особые понятия, например, такие, как тяжесть, стоимость и число.
Абстракция отождествления — способ формирования общих абстрактных понятий, состоящий в том, что при рассмотрении каких-либо реальных, осязаемых исходных объектов принимаются во внимание лишь те их различия, которые по тем или иным причинам оказываются для нас существенными, и игнорируются другие — несущественные. Объекты, различающиеся лишь несущественным образом, начинают считать одинаковыми
Для изолирующей абстракции характерно отвлечение некоторых свойств и отношений изучаемых предметов и рассмотрение их как индивидуальных, самостоятельных объектов, как, например, белизна, яркость, доброта, дружба. Во всех этих примерах конкретное свойство, присущее реальным предметам, рассматривается как самостоятельный абстрактный объект.
Более сложный характер присущ абстракциям, связанным с образованием математических понятий, когда приходится отвлекаться от возможностей построения соответствующих математических объектов. Например, в абстракции потенциальной осуществимости отвлекаются от реальной возможности построения тех или иных математических объектов и допускают осуществимость построения следующего объекта при наличии достаточного времени, пространства и материалов. Например, вслед за данным натуральным числом N допускается возможность построения, следующего за ним натурального числа N + 1. На этой основе образуется, во-первых, абстракция и соответственно понятие потенциальной бесконечности, а именно потенциальная возможность построения в неограниченном ряду следующего объекта, если задан предыдущий объект. Поэтому натуральный ряд чисел в данном случае рассматривается как неограниченно продолженный, поскольку допускается возможность прибавления к данному числу единицы и образование следующего натурального числа.
Можно ввести понятие потенциальной бесконечности как неограниченного процесса построения математических объектов, который не имеет последнего шага. Действительно, гипотеза потенциальной осуществимости допускает, что после n шага всегда возможен n+1 шаг. А это означает, что в принципе допустимо существование безграничного процесса, или потенциальной бесконечности. Элементы такой бесконечности не существуют одновременно, они последовательно возникают в процессе построения. Именно так и воспринимается натуральный ряд чисел как ряд, начинающийся с 1, последовательно переходящий к числам 2, 3, 4... и не имеющий последнего члена. Требуется немалое усилие, чтобы представить этот ряд в виде закопченного множества чисел. Это показывает, что сама идея потенциальной бесконечности интуитивно значительно яснее, чем идея актуальной бесконечности. Поэтому логично предположить, что именно идея потенциальной бесконечности первоначально возникла в математике.
Можно применить более сильную абстракцию и образовать понятие актуальной бесконечности, в котором отвлекаются от реальной возможности построения любого натурального числа и допускают возможность построения неограниченного множества таких чисел, как актуально построенного, завершенного. Тем самым бесконечное множество уподобляется конечному множеству.
Сущность абстракции актуальной бесконечности состоит в отвлечении от незавершенности и незавершимости процесса образования бесконечногоnмножества, от невозможности задать такое множество посредством полного перечисления его элементов. Согласно абстракции актуальной бесконечности, в бесконечном множестве можно выделить (индивидуализировать) каждый его элемент. Но на самом деле зафиксировать и описать каждый элемент бесконечного множества принципиально невозможно. Абстракция актуальной бесконечности и представляет собой отвлечение от этой невозможности, что позволяет рассматривать, например, отрезок прямой как бесконечное множество точек, каждую из которых можно индивидуализировать, обозначив ее каким-то действительным числом.
Понятие актуальной бесконечности возникает с помощью процесса идеализации. В данном случае идеализация дает возможность применять к бесконечным множествам простой и хорошо изученный аппарат классической логики. Этот аппарат возник и вполне оправдал себя при исследовании конечных множеств. Идеализированный характер актуальной бесконечности состоит в том, что о бесконечном множестве рассуждают по аналогии с конечными множествами. Кроме того, здесь абстрагируются от конкретных способов построения элементов бесконечного множества и даже допускают, что все его элементы существуют одновременно, а не возникают в процессе построения.
Поскольку актуальная бесконечность представляет собой чрезвычайно сильную абстракцию, то с пониманием ее связан целый ряд трудностей. Прежде всего интуиция восстает против представления бесконечности и виде завершенного процесса. Завершенность бесконечности нередко понимается как ее уничтожение. Так, например, натуральный ряд чисел обычно мыслится как неограниченно продолженный, и интуиции нелегко свыкнуться с представлением о законченности этого ряда.
Особой разновидностью абстрагирования является процесс идеализации, который представляет собой предельный переход от реально существующих свойств явлений к свойствам идеальным. Например, из физики известны такие идеализации, как абсолютно упругое тело, несжимаемая жидкость, идеальный газ и т.д., которые не существуют в реальном мире и потому являются упрощениями, которые помогают лучше понять свойства реальных твердых, жидких и газообразных веществ.
