Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела, является одним из основных понятий математическогоанализа.
Определение. Функцияf(х) называется непрерывной в точкеx0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1) определена в точкеx0(т.е. существуетf(х 0));
2) имеет конечный предел функции при х → х 0;
3) этот предел равен значению функции в точке х 0, т.е.
Пример 7. Исследовать непрерывность в точке х = 0 заданной функции: .
Решение:
а) В точке x =0 y = f (x) не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности – существование f (0).
Рисунок 3 – График функции
Функция f (x) непрерывна на отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.
Точка х 0 называется точкой разрыва функции f (х), если эта функция в данной точке не является непрерывной. Различают точки разрыва:
первого рода (когда существуют конечные односторонние пределы функции слева и справа при х → х 0, не равные друг другу);
Если , то х 0 – точка разрыва I рода.
второго рода (когда хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует).
|
|
Если то точка х 0– точка разрыва II рода.
устранимого разрыва, когда предел функции при х → х 0 существует, но неравен значению функции в этой точке.
Если то в точке х 0 – устранимый разрыв.
Нахождение асимптот
Асимптотой графика функции у = f(x) – называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Асимптоты бывают: наклонные, горизонтальные, вертикальные.
Уравнение наклонной асимптоты находим в виде у = kх + b, где , .
Пример 8. Исследовать график функции в точках х =1, х =2 и выполнить построение.
1) х =1 вертикальная асимптота, т.к. х =1 – точка разрыва (на нуль делить нельзя).
2) Определим вид разрыва в точке х =1
и следовательно х =1 точка разрыва II рода.
3) Находим наклонные асимптоты из уравнения у = kх + b
и итак у =1 – горизонтальная асимптота.
4) Исследуем поведение функции в точке х =2
и , и f (2)=4т.к. выполнены условия непрерывности функции в точке, функция в т. х =2 является непрерывной.
Построение:
1. На координатной прямой изобразили найденные асимптоты.
2. Обратили внимание на поведение функции справа и слева от точки разрыва.
3. При х=0 у=0 использовали уточняющее условие, для построения графика.
Рисунок 4 – График функции
Задания для самоконтроля
1. Вычислить пределы
а) . | и) |
б) . | з) |
в) . | ж) |
г) . | м) |
д) | н) |
е) . | о) |
л) | п) |
к) | р) |
2. Исследовать непрерывность в точке х = 0 заданной функции: .
|
|
3. Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер разрывов функции, если они существуют. Выполнить чертёж.