Геометрический смыслпроизводной

Задача о касательной. Пусть на плоскости Oxy дана непрерывная кривая у = f (х) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке M ₀(x ₀; y ₀).

Дадим аргументу x ₀ приращение D х и перейдем на кривой у = f (х) от точки M ₀(x ₀; f (х ₀)) к точке M ₁(x ₀+D х; f (х ₀+D х)). Проведем секущую М ₀ М ₁.

Рисунок 5 – Геометрический смысл производной

Под касательной к кривой у = f (х) в точке М ₀ понимается предельное положение секущей М ₀ М ₁ при приближении точки М ₁ к точке М ₀, т.е. при х →0.

Уравнение прямой, проходящей через точку М ₀, имеет вид y – f (x ₀) = k (x – x ₀).

Угловой коэффициент (или тангенс угла φ наклона) секущей может быть найден из D M ₀ M ₁ N: Тогда угловой коэффициент касательной

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у = f (х) в точке x ₀, т.е. k =

Тогда уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке x ₀примет вид

Схема вычисления производной

Производная функции у = f (х) может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу х приращение и найдем наращенное значение функции

y + D y=f (x + D x).

2. Находим приращение функции D y=f (x + D x) – f (х).

3. Составляем отношение

4. Находим предел этого отношения при х →0, т.е. (если этот предел существует).